中考数学压轴题开挂公式(中考数学压轴题分析)
【中考真题】
(2020•北京)在△ABC中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE.过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示);
(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.
【分析】本题图形非常简洁,题目就给出了一个直角三角形,而且内部也出现一个直角三角形。这样的图形还是比较常见的呢。
题(1)比较简单,因为都是中点,所以很容易得出EF的长度。
可以发现
AE² BF²=EF²。
题(2)是问当点E在CA的延长线时求三条线段的关系。关键就是画出图形再进行分析。
有了题(1)的结论,我们可以猜测结论仍然成立。一般此类题目的结论都是不会变化的。
由于点D为中点,因此可以考虑用倍长中线的方法。
倍长中线法
如图,倍长ED至点M,再连接BM、MF即可得到Rt△BMF,结论易得。
本题其实在刚学勾股定理的时候也会遇到,不知道大家是否有印象。题目只是稍加改编。
【答案】解:(1)∵D是AB的中点,E是线段AC的中点,
∴DE∥BC,DE=1/2BC,
∵∠ACB=90°,
∴∠DEC=90°,
∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90°,
∴四边形CEDF是矩形,
∴DE=CF=1/2BC,
∴CF=BF=b,
∵CE=AE=a,
∴EF=√(CF² CE² )=√(a² b²);
(2)AE² BF²=EF².理由如下:
过点B作BM∥AC,与ED的延长线交于点M,连接MF,
则∠AED=∠BMD,∠CBM=∠ACB=90°,
∵D点是AB的中点,
∴AD=BD,
在△ADE和△BDM中,
∠AED=∠BMD,∠ADE=∠BDM,AD=BD,
∴△ADE≌△BDM(AAS),
∴AE=BM,DE=DM,
∵DF⊥DE,
∴EF=MF,
∵BM² BF²=MF²,
∴AE² BF²=EF².
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