一道高中几何题-求三角形的中线（一道高中几何题-求三角形的中线）

一道高中几何题-求三角形的中线

三角形ABC中，BC = √2, CA = 6，角ACB = 135°。如果CD是

AB的中点，求CD的长度是多少?

解：

方法1：三角法

如图做AE平行于中线CD， 延长BC与AE相交于E，

显然CD=AE/2, 现在求出AE就求出了CD，

但在三角形ACE中，有CE=BC=√2， CA=6，∠ACE=45°，

根据余弦定理：

AE2=62 2-2·6·√2·cos45°

由此得AE=√26

所以中线CD=（√26）/2

方法2：解析法

将点B置于原点，C点的坐标为（√2， 0）A点的坐标则为（4√2， 3√2）

那么AB中点的坐标为D(2√2, (3√2)/2), 根据两点之间的距离公式CD的长度为：

方法三：本题的另一种解法，是利用一个定理，这个定理被称作斯图尔特定理，其证明方法参见斯图尔特定理的证明。

这个公式要求知道三角形的三个边，然后套用公式即可以求出中线的长度。

首先用余弦定理求出135°所对应的边为5√2， 然后即可求出结果。

这里省略。