康托尔与集合论的故事（康托尔的集合论）

首先得声明一下，此“集合”不是为了团灭敌军，而是我们一起来谈一谈数学中的“集合”，这个“集合”不仅可以召集五个英雄，而且世间的万事万物均可置于其中！

“集合”这个词我们并不陌生，在我们的语言习惯中它常是作为动词被使用，意为使分散的人或事物聚集到一起．为什么集合会有这样的意思呢？从字形和字源的角度看，“集”是一个会意字，上面一个“隹”，下面一个“木”．其中“隹”字在《说文解字》中的解释是：“隹，短尾鸟之总名也”，即隹是短尾鸟的总称，这样集字是否就表示鸟栖止在树上呢？正是如此，《说文》中对“集”字的解释便是：“集，群鸟在木上也”，所以“集”的本义即是鸟类在树上栖息，引申一下就有了（鸟群）会合之义，如《诗经 周南 葛覃》中的“黄鸟于飞，集于灌木”，如此我们也不难理解“集”为什么会有聚集的意思了，由这个字义也产生了许多成语，比如：集萤映雪，集腋成裘，悲喜交集，百感交集……而“合”字也有会聚、聚合的意思，如“天下大势，分久必合，合久必分”，“集”与“合”放在一起自然会有使聚集的意思。

但在数学中，集合是康托尔的集合论的研究对象，是一个名词．从它的朴素的含义中我们知道，集合表示由一些具有共同特征的对象所构成的整体．这里我们再看一下“合”的字义，除了会合之外，“合”还有匹配，协调一致，相符等含义，比如天作之合，情投意合，貌合神离，又比如太极拳的“内三合”：神与意合、意与气合、气与力合。凭着“合”字的这层含义，我们能否这样理解集合——因合而集，是为集合。

01 集合论的诞生

集合论创始于伟大的19世纪的数学转变，一个开始于分析的转变。自从牛顿和莱布尼兹创立微积分以来，函数概念就已经不断地从解析表达式被扩张到任意对应。经过柯西、维尔斯特拉斯、傅立叶、狄利克雷和黎曼，当时数学界的工作的重点围绕任一函数是否能表示为三角级数的问题展开。从1870年开始，康托尔就开始发表一系列关于三角级数方面的论文。正是在研究三角级数的过程中，分析的基础激起了康托尔对点集的兴趣，并由此发现了超穷数。因此，集合论，至少部分是起源于黎曼等人对三角级数丰富的研究以及对不连续函数的分析。

康托尔最早是在他的同事海涅（E.Heine）的鼓动下开始研究三角级数的，最开始是研究黎曼在其1854年发表的论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中提出一个一直未解决的有趣问题：给定一个函数，它的三角级数的表达式是否唯一？关于这个问题，对于一些特殊类型的函数，在某些假定下的唯一性已经解决，但是并不具有普遍性，而康托尔就是为了给出最有普遍性的解进行努力研究，并于1872年给出了唯一性定理的证明。在研究过程中，康托尔意识到无穷集合的重要性，在给出了唯一性定理最一般的证明后，康托尔开始研究离散和连续域两者之间的区别，这是康巧尔走向建立独立的集合理论的重要一步。到了1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。

02 集合论的发展

前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”。因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来。数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱。因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念。但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路。他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界。对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子。“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示。”学过集合的所有人应该对这句话不会感到陌生。但在接受这句话时我们根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作。在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释。无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限。十八世纪数学王子高斯就持这种观点。用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的。所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想。由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的。然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷。他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论。这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界。最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究。他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数。他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势。由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系，也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数。这与传统观念“全体大于部分”相矛盾。而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征。在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集。又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集。后来当他又证明了代数数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集。但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集。这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已。这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结。魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物。从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次。他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次。他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”。他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系，它可以无限延长下去。就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景。可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了。毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣。他们大叫大喊地反对他的理论。有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”。作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的。当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧。公理化集合论的建立，集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品。在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症。

格奥尔格·康托尔 (Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6) 德国数学家，集合论的创始人。

然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认。到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。

在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。”然而这种自得的情绪并没能持续多久。不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是1902年罗素得出的罗素悖论。

罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。这样，不论何种情况都存在着矛盾。

这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中。这就是数学史上的第三次数学危机。危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。

1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。

与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。

公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去。从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等。而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的。因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价：“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一。康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献。”

03 集合的概念

把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合（简称集），其中每个事物叫做该集合的元素（简称元），给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个事物是否属于这个集合，是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。

集合的表示法一般用列举法和描述法。列举法就是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法。描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时，很难把所有的元素一一列举出来，这时描述法便体现出了优越性。此外，有时也能够用封闭的曲线（维恩图）来直观地表示集合及集合间的关系，曲线的内部表示集合的所有元素。

对应是两个集合之间元素（这种元素不一定是数）的一对一的对应，也就是说集合Ａ中的任一元素a，在集合Ｂ中都有唯一的元素b与之对应；并且在集合Ｂ中的任一元素b，在集合Ａ中也有唯一的元素a与之对应。数集之间能够建立一一对应，如正奇数集合和正偶数集合之间的元素能够建立一一对应。其他集合之间也能够建立一一对应，如五（1）班有25个男生，25个女生，如果把男生和女生各自看成一个集合，那么这两个集合之间能够建立一一对应；再如，中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合，北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合，这两个集合之间也能够建立一一对应。

04 集合论中的思想

整体思想

从集合的朴素含义来看，集合本质上是我们假定的一个整体，这其实就是整体思想的体现——当面对众多的研究对象茫茫然毫无头绪时，在某个瞬间我们敏锐地捕捉到了这些对象所具有的共同特征，从而将其看成一个整体，一个集合就这样诞生了。

如果我们的研究对象是数或是（直角坐标系上的）点，那它们所构成的集合就是数集或点集。假如放眼数学之外，我们可以说由诗构成的集合就是诗集，由小说构成的集合就是小说集，由歌曲构成的集合就是音乐专辑，由士兵构成的集合就是军队……

分级思想

同一些元素，若从不同的角度去看，可能具有不止一种共同特征，进而则分属于不同的集合，如：1,3,5,7，它们既属于奇数集，又属于整数集，当然也属于有理数集……

而一个集合，若从更高的层面上看，可能成为另一个集合中的元素。比如：整数集是由所有的整数构成的集合，在同一层面上与之对立的是分数集，而整数和分数都可以精确地表示成两个整数的比，这是它们具有的共同特征，因而又可以把它们看作一个整体，即构成一个新的集合——有理数集，这时整数集和分数集就是作为有理数集中的元素存在的。由此我们不难生出“分级”的观念，可以认为有理数集的级别要比整数集要高。

同样，在有理数集这个层面上，与之对立的是无理数集，若从更高的层面上看，它们又都是实数集中的元素。而实数集又和虚数集共同构成了新的集合——复数集。至此，我们已经得到了在传统观念下最高级别的数集。在我们眼前俨然出现一个等级森严的数字王国，复数就是这个封建国度的君王。

这是集合中分级思想的体现。类似的例子还有，比如我们熟悉的生物的分类等级：域、界、门、纲、目、科、属、种……

数形结合思想

数与形是数学中的两个最古老又最基本的研究对象，数代表抽象的数学语言，形则表示具体的几何图形，前者精确，而后者直观。所谓数形结合即是将数与形有机地结合起来，“以形助数”或“以数解形”。这是抽象思维与形象思维的结合，化抽象为具体，或化具体为抽象，可使复杂问题简单化，从而优化解题路径．在集合中，我们常用数形结合解决涉及集合间的关系及运算的问题。

正难则反思想

有这样一则故事：一位农夫请了物理学家、工程师和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积．工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计；物理学家将篱笆拉成一条直线，假设篱笆有无限长，认为围起来半个地球总够大了；数学家一声不响地用很少的篱笆把自己围起来，说道：“我现在是在外面”。

这个故事很好地体现了“正难则反”的思想．人们习惯的思维方式是正向思维，即从条件入手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决．但有些数学问题，若直接从正面分析，可能思路受阻，或者即使有思路，实施起来却也困难重重，这时不妨突破思维定势而从反面入手，则可能出其不意，收获奇效。

05 集合论及集合的意义

集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等数学分支以及物理学等一些自然科学领域，为这些学科提供了基础的方法。如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，对现代数学的发展也有深远的影响。

康托尔一生深受磨难。他及其集合论受到攻击长达十余年。他虽一度对数学失去兴趣，转向哲学、文学，但始终不放弃集合论。康托尔不顾众多数学家、哲学家的反对，坚定捍卫无穷集合论，与他的科学家气质和性格是分不开的。康托尔的个性形成很大程度上受他父亲的影响。这种坚定、乐观的信念使康托尔义无返顾地走向数学家之路并取得了成功。

这首先是被集合论的建立者康托尔证明的.

今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康托尔也因此成为上世纪之交的最伟大的数学家之一。

集合理论是数学的理论基础，从集合论的角度研究数学，便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。如数系的扩展，从自然数到整数，再到有理数、无理数和实数，都能够从集合的角度来描述。有时用集合语言来表述相关概念更为简洁，如全体偶数的集合可表示为｛x|x＝2k，k∈Z｝。集合沟通了代数（数）和几何之间的关系，如y = kx，既是正比例函数，又能够表示一条直线；也就是说在平面直角坐标系上，这条直线是由满足y = kx的有序实数对所组成的点的集合。用集合图描述概念的分类及概念之间的关系，往往层次分明、直观清晰，如四边形的分类能够用维恩图表示。

结 语

康托尔的集合论是数学史上最具革命性和创造性的理论，他处理了数学上最棘手的对象——无穷集合，让无数因“无穷”而困扰许久的数学家们在这种神奇的数学世界找回了自己的精神家园。集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学学科，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响。

请求集合！

First blood！

Double kill！

Triple kill！

Quadra kill！

Penta kill！

Aced！

Victory！

学完收工……

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《基础集合论》

作者 ：董延闿

本书作者向读者系统地介绍了集合论最基本的理论，为学习数学各分支打下了理论的根基。它是按公理化精神编写的，但不过多地追求形式化。所以，它不是一本“公理集合论”，只能算作“朴素集合论”，书中不涉及现代集合论中深入的课题，只是讲解集合论中基础部分。为了使读者易于理解，推证部分写得比较详细，并且对于较难懂的证明，还描述了证明的直觉想法。

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