平面几何世界级难题（挑战接受解一道）

本人接受挑战，提供对于以下“史诗级”难题的一种平面几何解法以及一种代数解法，我来为大家科普一下关于平面几何世界级难题?以下内容希望对你有帮助!

平面几何世界级难题

引言

本人接受挑战，提供对于以下“史诗级”难题的一种平面几何解法以及一种代数解法。

挑战链接：

一道史诗级的角格点难题 平几爱好者都来瞧瞧

问题

已知：正中有一点满足，.

求证：

平面几何解法

证明：如下图所示。点绕点逆时针旋转，得到三点，点为点在上的射影，点为点在上的射影，交于点，为中点，连接,,,.

首先，

而由可知

故是等腰三角形，从而

又因为

故，从而

所以

由

进而

因为

故

考虑到

由可知在上，从而

由此我们导出一对相似三角形：

这是由于它们的两个锐角都是 故

再由

可以导出一对相似三角形：

可以看作以为圆心为半径的四点，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：

代数解法

证明：设 在中使用正弦定理得：

在中使用正弦定理得：

而由可得：

而

从而

故

由积化和差公式得：

即

由和差化积公式得：

由的取值范围可得：