分别画四个不同的平行四边形（镶嵌画中的数学04）

作者 | 扬帆起航 552来源 | 小谜题大世界

上期我们介绍了 5 种“特殊”的四边形，这些四边形的边都可以分成两组，且每组都是滑移反射关系或各自中心对称。事实上，边与边之间还有旋转相同的关系，这便有可能形成其他的四边形的密铺方式，例如下面 4 种密铺方式。

首先，菱形是特殊的平行四边形，换句话说，平行四边形的 3 种密铺方式，菱形都满足。我们需要找的是菱形独有的密铺方式。而菱形的特点是邻边相等，要利用这一特点，就很自然地考虑到旋转。

连接正六边形的中心与三个不相邻的顶点，可以将正六边形分成三个全等的含 120° 菱形。因此，我们可以先将含 120° 角的菱形绕 120° 角的顶点旋转 2 次 120°，形成一个正六边形。然后正六边形再密铺平面。

那么，这样的密铺方式下，每个菱形可以如何变形呢？

如上图，每个菱形的两组邻边旋转 120° 相同。

除了第一期所讲的任意筝形的密铺方式外，事实上还有一种特殊筝形的密铺方式。

连接正三角形的中心与各边中点，可以将正三角形划分为 3 个全等的筝形。因此我们可以先将这种筝形绕 120° 角的顶点旋转 2 次 120°，形成一个正三角形。然后正三角形再密铺平面。

那么，这样的密铺方式下，每个筝形可以如何变形呢？

如上图，每个筝形的一组邻边旋转 120° 相同，一组邻边旋转 60° 相同。

（1）正方形含有菱形的所有密铺方式，并且另外多了一个特点，即含有 90° 的内角。因此我们可以先将单个正方形绕一个顶点旋转 3 次 90°，形成一个 2×2 的大正方形。然后大正方形再密铺平面。

那么，这样的密铺方式下，每个正方形可以如何变形呢？

如上图，每个正方形的两组邻边分别旋转 90° 相同。

（2）在此基础上，笔者发现了另外一种能密铺的正方形结构。如下图，同种正方形 A、B、C、D 铺成一个大正方形。每个小正方形的一组邻边旋转 90° 相同且各自轴对称，另一组各自中心对称。正方形 A 绕点 P、Q 旋转 180° 分别得到 B 和 C。C 绕点 O 逆时针旋转 90° 再左右镜像，得到 D。

不难看出，这样得到的大正方形，其两组邻边滑移反射，即为第一期中筝形的变形结构。其密铺结果如下：

参考文献：

1.en.tessellations-nicolas.com/method.php