除法有分配律吗为什么（除法有没有分配律）

下面是某区2020-2021学年第一学期四年级数学试卷的最后一题。

出题者的答案是“除法没有分配率”，像上面这位同学的回答就是错的，果真如此吗？现讨论如下：

首先，对这道题不能陷入对定义的争论，定义都是人为规定的，可以将 (a b)÷c=a÷c b÷c定义为“除法分配率”，也可以规定它不能这么命名。小学课本上也没有关于“除法分配率”的阐述，这是个开放性问题，言而有理则对。作为压轴大题，需要从①②步骤详细推导出的结论，也体现了出题者的用意，考的是推理，不是人为规定。

抛开了定义问题，(a b)÷c=a÷c b÷c显然是一个与除法相关、也与分配率相关的正确的式子，怎么就不能说除法有分配率呢？出题者的理想答案无非就是要在步骤①“我猜想”中不但写出(a b)÷c=a÷c b÷c，还要写出不正确的c ÷(a b) =c÷a c÷b，并在步骤②中发现c ÷(a b) =c÷a c÷b的不正确，得到“除法没有分配率”这个结论。不写出c ÷(a b) =c÷a c÷b就叫考虑不全面，其实这完全是个逻辑错误。要证明存在，只需举一例即可，要证明不存在，才需穷举。譬如要证明新冠病毒存在，只需证明有一人有病毒即可，无需再列举其他人有没有病毒，只当要证明新冠病毒不存在时，才需要证明所有人都没有病毒。同理，当学生能证明(a b)÷c=a÷c b÷c正确，得出自己的结论时，也就没必要考虑c ÷(a b) =c÷a c÷b正确与否，这并非考虑不周，而是不必，因为即使考虑到c ÷(a b) =c÷a c÷b的不正确，也对结论没任何影响。从逻辑上来说，在已论证(a b)÷c=a÷c b÷c正确的前提下，不考虑c ÷(a b) =c÷a c÷b才是正确的逻辑，考虑它反而是多余。学生未必会讲出这些道理，但人都会不自觉的按逻辑行事，出题者怎么知道学生不写出c ÷(a b) =c÷a c÷b的不正确，是出于不知还是不必呢？为什么要小瞧四年级学生的逻辑能力呢？他们不配拥有更深的思维能力吗？

进一步讲，有的学生完全有能力预判c ÷(a b) =c÷a c÷b的不正确，自然就不会将它列入步骤①“我猜想”中，“我猜想”的自然是我认为正确的。出题者似乎认为小学生从模仿乘法c ×(a b) =c×a c×b出发，一定会写出上面那个除法不正确的式子，先掉进这个坑，再爬出来，那有的学生一开始就不掉进这个坑不行吗？像上述那位同学的解答，至始没有涉及c ÷(a b) =c÷a c÷b的问题，不可以吗？从乘法出发犯c ÷(a b) =c÷a c÷b这个错误确实有可能，但也不是必然，从数学原理上说，除法中的被除数相当于分子，与乘法中的因子一样，具有刻画数量大小的属性，而除数相当于分母，属性为参照量，参照量越大，处于分子的数量显得更小。只有具备数量大小属性的乘法中的因子、除法中的被除数是可以被分配的，而参照量属性的除数无法被分配。说理论很复杂，但也可以简单说，符合逻辑的式子总有现实意义，比如正确式子(a b)÷c=a÷c b÷c，可以说a个红苹果，b个青苹果给c个人吃，问每个人吃了几个苹果，那先算总共几个苹果再算每人吃多少，或是先分别算每人吃了几个红苹果、几个青苹果，再将红苹果青苹果合起来，结果一样，这是正确式子对应的现实意义。反之，错误式子c ÷(a b) =c÷a c÷b，无论如何找不出对应的现实意义。所以说，c ÷(a b) =c÷a c÷b的错误并不是像出题者给小学生设计好的步骤②那样，要靠代入几个具体数验证它错误才行，而是从根本上就不对。对于小学生，也许他不会想到c ÷(a b) =c÷a c÷b从逻辑上完全行不通，但他完全有可能因找不到c ÷(a b) =c÷a c÷b对应的现实意义，而从一开始就认为这是个错式子，没必要在步骤①中写出。正确的路只有一条，错误的路千万条，为什么一定要把这条错误的路挑出来再证明它的错误呢？它在千万个错式子中有何特别吗？出题者认为小学生一定要先按容易错的思路把这错式子列出来验证，而不允许更高级的思路预先就把错误筛除吗？

这道题的本意是让学生不要从乘法分配律类比出c ÷(a b) =c÷a c÷b这个错误，但题目又没直接给出这个错误式子，而是让学生“我猜测”，按通常的逻辑，学生自然去猜测认为对的式子，就有可能没按出题者预想在步骤①中“猜测”出这个错式子，没有“猜测”出一个错误的式子有何不对吗？这并非考虑不全面或猜测水平低，而或许是更高级思维的体现。所以该题出的具有争议，给学生不合理的预设解答路线将破坏学生独立的、逻辑的思维能力。