线面垂直在立体几何学习的意义（浅谈立体几何中垂面法的应用）

这是一篇拆开能写好几篇文章的内容，鉴于个人精力有限加之了解更多内容只是锦上添花，在此大致谈一下垂面法的应用。

垂面法在很多学生认知里是处理二面角问题的，原理很简单，作一个二面角交线的垂面，垂面与交线的交点以及垂面与两个平面的交线所组成的角即为二面角的平面角，相关图示同学们可自己画一下，这种方法的好处是什么暂时不说，先谈一下常规定义法和三垂线法求二面角的一些不太容易确定的地方。

若采用定义法作二面角的平面角，从交线上取一点，从这点出发分别向两个面作垂线，这样会面临一个问题，即有时候其中一个面内的垂线的位置不好确定；若采用三垂线法从其中一个面上一点作另外一个平面的垂线，再作垂足和交线的垂线，这样做可能会面临垂足位置不好确定的问题，特别在侧面上。

如果扩展一下，在立体几何中有三类空间距离，分别是异面直线之间的距离，点到面的距离和面与面之间的距离，但无论哪种均需要转化为点到点的距离，而后者的点即为前者投影的位置，因此空间距离依旧涉及点在面内垂足位置不好确定的问题。

结合上述两种情况，垂面法不仅可以用来确定垂足位置的问题，还可以较为快捷的确定出线面角或者二面角平面角的问题，先给出两种常见的确定点在面上垂足位置的情况：

原理很简单，无非是面面垂直的性质定理，因此在解题中若要确定某点在某个平面投影的位置，可找到一个经过该点且与面垂直的平面，找到两个面的交线，从该点作交线的垂线，垂足即为所求，这在处理线面角问题中经常用到。

第二种情况可简化成对称问题，立体几何大多数为规则的几何体，对称现象随处可见，以下给出三道简单但却有代表性的案例：

这个题目凭感官就能确定出点A在平面SBC上的投影在AD上，但如果底面不再是等腰三角形，那么投影位置就不太容易确定了，若采用垂面法，找到一个与平面ABC垂直且经过点A的平面，确定出两平面的交线，从点A作交线的垂线，垂足即为点到平面投影位置，这种方法在任何几何体内都使用，无论几何体是否为规则几何体。

平面APD和平面CPD的交线为PD，找出一个与PD垂直的平面即可，其中无非是确定异面直线垂直与否的问题，用三余弦定理可轻松判定，因为CE⊥PD，从E点作PD的垂线，垂足为M，则经过C,E,M的平面与交线垂直，平面CEM与两个面的交线所组成的角度即为∠EMC，求出对应的正弦值即可。

之前有专门发过一篇文章，链接为：就一个题，今天再拿出来复盘一下：

当时确定二面角平面角的方法可自行参考链接，但若用垂面法，交线为BN，从A点作AE⊥BN，作AH⊥MN，根据第一问求证可知BM⊥AH，所以AH⊥平面BMN，即AH⊥BN，因此过A,E,H三点的平面与BN垂直，二面角的平面角即为∠AEH。

上述解法看上去并没有比定义法或者三垂线法简单多少，但如果熟练掌握三余弦定理，加之题目第一问中给定的垂直关系，这个平面还算是很容易确定出来的。

至于用垂面法确定空间距离，其实是对垂面法的延伸，高中阶段的空间距离常用等体积法转化，很少有直接求的情况，关于垂面法的更多使用方法和场景可自己体会。