n次多项式韦达定理推广（高次韦达定理与对称多项式）

初中讲二次方程的时候，我们都学过韦达定理。并且做过很多与之相关的比较难的题目，相信小伙伴们还记忆犹新。但是韦达定理探讨的只是二次方程根与系数的关系，那么对于次数更高的方程，根与系数有没有类似的关系或者定理呢？当然是有的，今天我们就来探讨一下这个问题。

1.韦达定理回顾

初中课本上的韦达定理是如下叙述的：

有时为了形式上的简单，我们直接把二次项系数消为1，于是就变成了底下这个样子：

利用韦达定理，我们可以在不知道方程解具体是多少的情况下，得到一些关于方程解的性质。有很多有趣的题目，比如我随便举个例子：

方法就是先利用韦达定理找出两根之和与两根之积的值：

然后把问题中的表达式都写成关于两根之和与两根之积的表达式，就可以得到最终答案：

韦达定律是如此美妙与简洁，而它的证明过程也非常简单。为了理解下面的内容，我们还是先来回顾一下它的证明过程。

然后把括号打开，变成底下这个形式：

再把a乘到括号里面：

与原来的方程相比较，对应系数相等，即：

于是得到：

了解了韦达定理的证明过程，我们来简单了解一下韦达这位数学家。韦达于1540年生于法国的普瓦图，那个年代其实还没有真正职业的数学家，很多人研究数学都是出于个人爱好。我们所熟悉的法国数学家费马，被称为“业余数学之王”。其实韦达也是这样的人，他当过律师，做过议会的议员，从事过政治活动，只是用业余时间来研究数学。即使这样，他也在数学上做出了巨大贡献。

韦达（Vieta，1540-1603）

韦达最主要的贡献体现在代数学上。回忆一下，我们小学做的都是数与数之间的运算，而上了中学后开始用字母代替数，进行字母与字母之间的运算，就是所谓的符号代数。而韦达是数学史上第一个有意识并且系统地用字母来表示已知数，未知数，及其运算的数学家。因此他是符号代数的开创者，我们今天的初中数学之所以长这个样子，主要归功于他。

韦达一生出版了多部数学著作，如1579年出版的《应用于三角形的数学定律》，探讨了三角函数方面的问题。1591年出版了《分析方法入门》，提出了符号代数的思想。而在他去世后出版的《论方程的识别与订正》中，提出了著名的韦达定理。

韦达于1603年逝世，在欧洲被尊为“代数学之父”。

2.高次韦达定理

那么我们如何来推广到高次方程呢？首先明确一下，我们讲的高次方程指的是如下形式的方程：

根据代数学基本定理，在复数域内它一定有n个根，重根重复计算。假设这n个根分别为：

于是我们同样可以把原方程写成如下形式：

同样地，我们把括号拆开，然后与原式子做对比。首先最明显的，x的n次方系数就是an，这与原式是一样的。

下面我们来看x的n-1次方的系数。

来仔细分析一下，一共有n个括号，把它们乘在一起的时候，要想得出x的n-1次方，则需要有n-1个括号出x，剩下一个括号出常数项。而每一个括号里面都有一个常数项，分别是-x1，-x2，...，-xn，因此就有n种不同的可能，把这n种可能加在一起合并同类项，考虑到最前面的数字an，就得到x的n-1次方的系数为：

与原方程x的n-1次方的系数相比较，就有：

于是我们得到：

这就是所有根之和的表达式。

下面我们考虑括号拆开以后的常数项。常数项很简单，就是把每个括号里面的常数都提出来乘在一起就可以了：

和原方程作比较

于是就有

这样就得到了所有根之积的表达式。总结一下，高次韦达定理就是

所以，我们所熟悉的韦达定理就是上面这个式子的特殊情况。

3.进一步发展

故事到这里就结束了吗？并没有。上面只是考虑了x的n-1次方和常数项，但是还剩下很多东西呀，x的n-2次方，n-3次方，等等等等，如果我们考虑这些项的系数，又会得到什么结果呢？

我们考虑x的n-2次方的系数，要想出来x的n-2次方，我们需要有n-2个括号出x，剩下两个括号出常数，这时就需要用排列组合的知识了，n和里面选2个，让这两个出常数，剩下的全出x。那把所有这样的选法加在一起，就可以得到x的n-2次方的系数：

再与原方程相比较可以得到：

这同样是一种根与系数的关系。

继续下去，当我们考虑x的n-3次方的时候就会有

如此等等，我们可以得到一系列的式子。这其实就是更广泛意义上的韦达定理了。

4.对称多项式

在上面对韦达定理进行拓展的过程中，我们会发现出现了如下形式的式子：

这些式子的共同点就是所有的变量都轮着来一遍，而且地位都相同，有些小伙伴可能已经猜到了，这就是所谓的轮换多项式。

当然数学家们研究了一类更广泛意义的多项式——对称多项式，它的定义如下：

简单来说，对称多项式指的就是，任意两个自变量交换位置之后得到的结果仍然一样的多项式。

可以看出，上面出现的那几个式子都是对称多项式，并且它们的次数分别是1次，2次，...，n次。我们将它们称为初等对称多项式。

那么为什么叫它们初等对称多项式呢？是因为我们还有更复杂的对称多项式，但是不管多么复杂，它都可以表示成若干个初等对称多项式做加减法与乘方的组合。

或者一句比较绕嘴的话来说，任何一个对称多项式都是若干个初等对称多项式的多项式，这个结论被称为对称多项式基本定理。

因此我们只需要把所有初等对称多项式研究清楚就可以了。而从推广的高次韦达定理可以看出，对于任意一个代数方程，我们都可以利用其根与系数的关系，找到所有初等对称多项式的取值。因此很多问题就可以迎刃而解。

二重积分的计算

对称多项式在很多地方可以大大地简化运算。比如在高等数学中，计算重积分，曲线积分和曲面积分的时候，利用函数的对称性可以使积分式子变得非常简单，因此研究对称多项式也是代数领域一个很重要的问题。

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