狄利克雷函数的值域（狄利克雷函数和黎曼函数-命题背景第7集）

狄利克雷特函数，是狄利克雷特提出的高等数学，指D(x)=1,当x为有理数；D(x)=0,当x为无理数。是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

基本性质

1、定义域为整个实数域R

2、值域为{0,1}

3、函数为偶函数

4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在

5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）

黎曼函数（Riemann function）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，黎曼函数定义在[0,1]上，其基本定义是：R(x)=1/q，当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)；R(x)=0，当x=0，1和(0,1)内的无理数。

黎曼函数在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。

以上两个函数都是不连续函数的代表。对于我们研究函数的本质有着非常大的作用。

有兴趣的同学自行解答，如果自己做不出来，欢迎留言

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