射影定理中有几组互相垂直的线段（折叠问题与圆结合）

折叠问题一直是初中数学重点考察的对象，掌握折叠的本质，充分利用折叠前后图形的形状、大小不变的特点，是解决问题的关键。

我们以折叠与圆的综合题目来简要介绍一下。

题目如下：

半圆直径为10，折痕长为9，求没压住部分直径的长？

已知条件分析：

10是半圆的直径，作用无非是确定半圆的大小，暂时意义不大。

另外就是9了，这个数字的大小，影响到对折过来的纸片有多少，就是因为它的变化，导致了所求线段长度的变化，是关键数据。

另外，题目给出的信息就是对折，这个词的意思表示，对折前后的两部分图形，大小、形状都不会发生变化，也就是全等。

涉及到圆，无非弧、弦、圆周角、圆心角、切线、割线等知识点，题目中出现了圆周角和弦，就从这两方面着手。

有圆周角，就要将它对应的弧，以及弧所对的弦找出来，题中有两段弧对应着同一个圆周角,分别是弧DB和弧DC,角相等则弧相等。

如果不太理解的话，注意看下面的附图。

过B点做AD的垂线，交半圆于B’，因为对折，∠1=∠2，弧B’D等于弧DC，也等于弧BD。

回到正题，既然两段弧相等，那么线段BD等于线段CD，由此推出三角形DBC是等腰三角形。

等腰三角形的有什么性质？是三线合一。

这是我们从已知条件推出来的信息，但是还不够，没找到相合的模型确立等量关系。

继续挖掘，会发现D点比较特殊，它与直径的两个端点构成一个三角形，且D点处的夹角正好是90度。

一个直角三角形直角顶点处的垂线，与哪个涉及到长度的知识点关联密切？

不难想到，射影定理！

如果我们构造出这个三角形来，就可以用射影定理找出等式关系了。

连接DB、DC,过D点做DE⊥AC于E,那么BE=EC=½BC.

设EC长为X，由射影定理得，AD的平方等于AE乘以AC，即81=10-X乘以10，解这个一元一次方程，就得X=1.9，进而求出BC=2倍的1.9，即3.8。

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