射影定理中有几组互相垂直的线段(折叠问题与圆结合)

折叠问题一直是初中数学重点考察的对象,掌握折叠的本质,充分利用折叠前后图形的形状、大小不变的特点,是解决问题的关键。

我们以折叠与圆的综合题目来简要介绍一下。

题目如下:

半圆直径为10,折痕长为9,求没压住部分直径的长?

射影定理中有几组互相垂直的线段(折叠问题与圆结合)(1)

已知条件分析:

10是半圆的直径,作用无非是确定半圆的大小,暂时意义不大。

另外就是9了,这个数字的大小,影响到对折过来的纸片有多少,就是因为它的变化,导致了所求线段长度的变化,是关键数据。

另外,题目给出的信息就是对折,这个词的意思表示,对折前后的两部分图形,大小、形状都不会发生变化,也就是全等。

涉及到圆,无非弧、弦、圆周角、圆心角、切线、割线等知识点,题目中出现了圆周角和弦,就从这两方面着手。

有圆周角,就要将它对应的弧,以及弧所对的弦找出来,题中有两段弧对应着同一个圆周角,分别是弧DB和弧DC,角相等则弧相等。

如果不太理解的话,注意看下面的附图。

射影定理中有几组互相垂直的线段(折叠问题与圆结合)(2)

过B点做AD的垂线,交半圆于B’,因为对折,∠1=∠2,弧B’D等于弧DC,也等于弧BD。

回到正题,既然两段弧相等,那么线段BD等于线段CD,由此推出三角形DBC是等腰三角形。

等腰三角形的有什么性质?是三线合一。

这是我们从已知条件推出来的信息,但是还不够,没找到相合的模型确立等量关系。

继续挖掘,会发现D点比较特殊,它与直径的两个端点构成一个三角形,且D点处的夹角正好是90度。

一个直角三角形直角顶点处的垂线,与哪个涉及到长度的知识点关联密切?

不难想到,射影定理!

射影定理中有几组互相垂直的线段(折叠问题与圆结合)(3)

如果我们构造出这个三角形来,就可以用射影定理找出等式关系了。

连接DB、DC,过D点做DE⊥AC于E,那么BE=EC=½BC.

设EC长为X,由射影定理得,AD的平方等于AE乘以AC,即81=10-X乘以10,解这个一元一次方程,就得X=1.9,进而求出BC=2倍的1.9,即3.8。

射影定理中有几组互相垂直的线段(折叠问题与圆结合)(4)

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