三角形动角问题（三角形内含135º角问题的求解技巧）

当在几何图形中出现特殊角时，就会有给图形带来特殊的性质，相关几何问题的求解就会有相应的窍门。今选编三例含150º角的几何问题，来说说这类题目的求解小技巧：

【例一】（如图）在Rt△ACB中，∠ACB=90º，AC=8√2，BC=6√2，CD为∠ACB的平分线，点P在CD上，且∠APB=135º，求：线段CP的长

【简解】

（1）由已知可得AB=10√2，作△ACB的外接圆

（2）由己知可得：AB为该圆直径，延长CD交圆于点Q，连接QA、QB，则：∠AQB=90º，由∠ACQ=∠BCQ=45º，∴AQ=BQ=10

（3）由QA=QB，∠APB=135º，∠AQB=90º，易证：点Q为△APB的外心，∴QP=QA=QB=10，

（4）四边形ACBQ内接于圆，由托勒密定理：8√2×10＋6√2×10=10√2×QC，∴QC=14

（5）由CP=CQ－PQ=4，即：线段CP的长为4

【例二】（如图）Rt△ABC中，∠BAC=90º，点D为其内一点，且∠BDC=135º，∠DAC=∠DCB，BD=15，△ADC的面积为36，求：线段CD的长

【简解】

（1）过点C作AD的平行线，过点D作AD的垂线两线交于点E，即：CE∥AD，AD⊥DE

（2）由已知得：∠DAC=∠DCB=∠ECA，∴∠ACB=∠ECD，又∠DEC=∠ADE=90º=∠BAC，∴Rt△BAC∽Rt△DEC，∴BC/AC=DC/EC

（3）易得：△BCD∽△ACE，∴∠AEC=135º，∴∠DEA=45º=∠DAE，DA=DE，设：DA=DE=a，则：AE=√2a，由：△ACD面积S=36=a×a/2，∴a=6√2，AE=12

（4）由上：EC/CD=AE/BD=4/5，EC=4CD/5，Rt△CDE中，CD²=EC²＋a²=（4CD/5）²＋72，解之：CD=10√2，即：线段CD的长为10√2

【例三】（如图所示）△ABC中，∠BAC=45º，∠ACB=60º，点D为其内一点，且∠BDC=135º，BD=3，CD=2，求：线段AD的长

【简解】

（1）将△ABD、△BCD、△CAD分别沿AB、BC、AC向外翻折得：△ABP、△BCQ、△CAR

（2）易得：∠PAR=2×45º=90º，∠QBP=150º，∠QCR=120º，BP=BQ=3，CQ=CR=2

（3）在△PBQ、△QCR中计算得：PQ=（3√2＋3√6）/2，QR=2√3，[cos15º=（√2＋√6）/4]

（4）易得∠PQR=90º，在Rt△PQR中，计算得PR=√（30＋9√3），Rt△PAR中，AP=AR=AD

（5）所以：AD=√2PR/2=√（60＋18√3）/2

以上三例之分析，“道听度说”供参考。