著名数学思维问题（反直觉的数学问题01）

你的数学直觉怎么样？你能凭借直觉，迅速地判断出谁的概率大，谁的概率小吗？我们将连载这种反直觉的有趣数学问题如果你感兴趣的话，你可以先试着用直觉来判断，再详细分析答案，看看你猜对了多少，我来为大家科普一下关于著名数学思维问题?以下内容希望对你有帮助!

著名数学思维问题

你的数学直觉怎么样？你能凭借直觉，迅速地判断出谁的概率大，谁的概率小吗？我们将连载这种反直觉的有趣数学问题。如果你感兴趣的话，你可以先试着用直觉来判断，再详细分析答案，看看你猜对了多少。

我们来开始今天的题目：

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1．A 、 B 、 C 、 D 四人玩扑克牌游戏， A 、 C 两人同盟， B 、 D 两人同盟。将除去大小王的 52 张牌随机分发给四人（每人获得 13 张牌）后，下面哪种情况的可能性更大一些？

A．A 、 C 两人手中都没有梅花B．A 、 C 两人手中囊括了所有的梅花C．上述两种情况的出现概率相同

解：

A 、 C 两人手中都没有梅花，等价于 B 、 D 两人手中囊括了所有的梅花，它的概率与 A 、 C 两人手中囊括所有梅花的概率相同。因此，这个问题的答案显然是 C 。

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2．我给 10 个好朋友分别写了一封信，并把这 10 个人的地址分别写在了 10 个信封上。如果我随机地将这 10 封信装进 10 个信封里（每封信都装进了一个不同的信封里），下面哪种情况的可能性更大一些？

A．恰好有 9 封信装进了正确的信封B．所有 10 封信都装进了正确的信封C．上述两种情况的出现概率相同

解：

你或许会以为，全都装对的可能性很低，装错一个的可能性则略高一些。然而事实上，这道题的答案是 B 。原因非常简单：恰好有 9 封信装对，这是根本不可能的——如果其中 9 封信都装对了，剩下的那一封信肯定也装对了。

实际上， 10 封信的排列方式一共有 10! = 3628800 种，其中装对的信有 0, 1, 2, 3, …, 9, 10 封的情况数分别为 1334961, 1334960, 667485, 222480, 55650, 11088, 1890, 240, 45, 0, 1 。可以看到，绝大多数时候，这个数列里的数都是不断递减的；也就是说，装对的信越多，概率就越低，这个直觉确实是准确的。唯一的例外，就是这个数列的最后两项，其背后的原因正如刚才所说。

你或许发现了一个有趣的现象：数列的第二项正好比第一项小 1 。这并不是巧合。有一个普遍的规律是，假设把 n 封信装进 n 个信封里，那么当 n 为偶数时，装对 1 封信的情况数比全都装错的情况数少 1 ，当 n 为奇数时，装对 1 封信的情况数比全都装错的情况数多 1 。我们下面就来证明这一点。

假设把 n 封信装进 n 个信封里，全都装错的情况有 Dn 种。那么，数列 D1, D2, D3, … 满足一个非常简单的递推关系： Dn = (n – 1) (Dn-1 Dn-2) 。为什么呢？我们慢慢来分析。由于每封信都装错了，因此第 1 封信没有装进 1 号信封。无妨假设它装进了 2 号信封。那么，第 2 封信装到哪儿去了呢？如果第 2 封信正好装进了 1 号信封，那么剩下的 n – 2 封信就有 Dn-2 种可能的装法。如果第 2 封信没有装进 1 号信封呢？情况就变成了这样：第 2, 3, 4, …, n 封信装进了编号分别为 1, 3, 4, …, n 的信封里，其中第 2 封信不在 1 号信封里，第 3 封信不在 3 号信封里，第 4 封信不在 4 号信封里……总之，这 n – 1 封信中，每封信都正好有一个禁放的信封。于是，这就构成了 Dn-1 种可能的装法。当然，第 1 封信也有可能装进了 3 号信封里，也有可能装进了 4 号信封里……因此，我们就有 Dn = (n – 1) (Dn-1 Dn-2) 。

在这个式子的左右两边同时减去 n · Dn-1 ，于是得到：

Dn – n · Dn-1 = – (Dn-1 – (n – 1) · Dn-2)

令 An = Dn – n · Dn-1 ，于是 An 满足递推关系式：

An = – An-1

可以验证：

A2 = D2 – 2 · D1 = 1 – 0 = 1

于是有：

An = (-1)n

即 Dn – n · Dn-1 = (-1)n 。而 n · Dn-1 正好表示把 n 封信装进 n 个信封里恰好装对 1 封信的情况数。

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