高中数学重难点手册两个版本区别（更高更妙的高中数学思想与方法）

1、此书《更高更妙的高中数学思想与方法（第十三版）》（蔡小雄◎著）上个礼拜六（2022.12.3）就寄到了，今天2022.12.5。看到第8页了。

此书作者蔡小雄老师和审校人蔡天乐是父子，小雄“父”，天乐“子”。这让每位读者想起一句俗语：上阵父子兵，打虎亲兄弟。这事让当事人想想都觉得温馨幸福美满。蔡老师全家肯定过得幸福美满，而且儿子还是全国奥数决赛金牌，保送北大数学系。蔡老师真是老婆贤惠，儿子成才，此身无憾矣。我都有点羡慕嫉妒。有许多老师事业有成，但子女不成才。也有许多老师自己不但事业有成，而且子女也成才。我把前者归结为老天爷的疏忽，是老天爷打盹了。我把后者归结为老天爷对他的眷顾。因为这两类家庭的父母都是负家庭责任的，不是对子女放任不管，但就是一家学霸一家学渣。朱永新老师说：“成人比成才重要。”因为两家父母都负有家庭责任，所以不管学霸还是学渣都会成人。但也有人说学渣才是来报恩的，学霸是来报仇的。当你弥留之际，往往是因为子女不成才，所以才能留在你身边。学霸早定居国外了。

蔡小雄老师家是儿子超过老子，某些老师家是儿子弱于老子。蔡老师是高智商，因为教出来学生能考上北大清华。北大清华的学生平均智商就超140。本来根据高尔顿定律，老爸聪明，生出来儿子也聪明，但要比爸稍微笨一点。可老天爷对蔡老师很照顾，给他一个天才儿子，全国奥数决赛金牌，北大数学系保送，真是青出于蓝而胜于蓝。许多老师的子女却是一代不如一代，就算父母以身作则循循善诱也一样。有人说，无论父母有多大成就子女大概率是普通人。无论父母怎么鸡娃，子女将来都会归于平凡。但蔡老师却是例外。蔡老师肯定是上辈子和这辈子拯救了银河。积善之家必有余庆。蔡老师家是积善之家。

2、此书《更高更妙的高中数学思想与方法（第十三版）》（蔡小雄◎著）看到第18页了。我是孙维刚老师的粉丝。我想到能否把蔡小雄老师与孙维刚老师进行比较？孙维刚老师提出了一些解题理念：一题多解、多解归一、多题同律、一题多变。看到第18页时，我发现蔡小雄老师还没有完全超过孙维刚老师。蔡老师对高考压轴题也是一题多解，多解归一等。因为只看到第18页，但此书有450页，所以我还不知道蔡小雄老师有没有提出一些新的解题理念？孙维刚老师在北京22中任教，此所高中与22年前的温州市瓯海区三溪中学相类似。现在的三溪中学比起22年前办学质量下降了两个层次。我是22年前大学毕业来到三溪中学，即我1999年参加工作，那时23周岁。当我知道孙维刚老师的事迹后就学孙老师教书，所以看到蔡小雄老师，自然就想起孙维刚老师。蔡小雄老师所在学校可以说是全国顶尖高中即杭州第二中学，孙维刚老师所在学校与22年前的三溪中学一样是普通高中，虽然生源不好，不但不是北京市第一批，也不是区第一批，而是被区第一批招过去后剩下来的学生，但高考之后，一个班有55%考上北大清华，即考上北大清华的有二十几个。孙维刚老师取得的高考成绩不亚于名牌高中取得的高考成绩。虽然生源差距巨大。

其实在解题理论提出方面：外国有美籍匈牙利人数学家波利亚的《怎样解题》，中国有陕西师范大学的罗增儒老师的《数学解题学引论》。罗增儒老师被称为“东方波利亚”。我现在还只看到第22页，不知书中有没有对解题学的发展？我们基础教育界老师能不能对解题学也添砖加瓦呢？

我以前看数学书是只看题不做题，这导致我消化不良，收获不大。我想换种看书方式即先做题再看题。这种方法太耗时了，花的时间比第一种看书方式大很多，但收获却比第一种看书方式多多了。以前数学学习，只看题不做题，虽然速度快，但效率低收获少。而今是先做题再看题，虽然速度慢，但效率高收获大。

3、此书《更高更妙的高中数学思想与方法（第十三版）》（蔡小雄◎著）看此书不仅让我想起北京22中的孙维刚老师，还让我想起北京十一学校的李锦旭老师，李锦旭老师写的书《高考数学压轴题破题36计（第二版）》与此书性质类似，都是对高考压轴题的研究，都写如何攻克高考压轴题的计谋和策略。李锦旭老师的书名里的“计”顾名思义就是“计谋和策略”的意思。这让人想起古代的《孙子兵法》和《三十六计》。根据MBA智库·百科《三十六计》，其中的计谋，大部分来自孙武的《孙子兵法》。在蔡小雄老师的这本书的封面上也写着“第一本解密高考压轴题解法的专著”，书中也是介绍了攻克高考压轴题的计谋和策略。两本书大同小异。北有李锦旭，南有蔡小雄。

在此书第35页，我找到了如何记忆底数是e的指数和对数不等式。

许多相关知识组成一个知识团，有时杂乱无章，那如何理解记忆这知识团？《道德经》曰：道生一，一生二，二生三，三生万物。我们只要找到这知识团的“道”就可以了。于是这知识团变得有逻辑秩序易记。

第42页【例22】4个人互相传球，要求接球后马上传给别人，由甲先传球，并做第一次传球，求经过10次传球仍回到发球人手中的传球方式的种数。

心得：此题书上解答不是通俗易懂，要百度帮助才能看懂。只要百度题目内容就可以搜索到，在百度题库里。百度题库解答更有逻辑，书中解答会误导读者，让读者偏离正确思路。

看到第45页了，即《1.4关注临界问题，掌握“秘密武器”》看完了。

4、此书《更高更妙的高中数学思想与方法（第十三版）》（蔡小雄◎著）看到第57页了，即《1.6加强问题研究，做到“把根留住”》看完了。在此节中蔡老师对圆锥曲线题进行了一题多变。我们普通老师与蔡老师的差距是不具备数学功底对数学题做到一题多变。蔡老师的一题多变，不是很随便地变，而是达到了可以在杂志上发表的程度。有的老师一题多变变不出来，或变得档次不高，狗肉上不了筵席，但蔡老师却变得大气艺术，能让人以美的享受。从此书参考文献中可以看出来，这一题多变是上过杂志的。

一题多变是什么？它让我们想起了《道德经》里的名言：道生一，一生二，二生三，三生万物。一题多变就是这句名言的数学表达。我一题多变最多到二生三，但蔡老师可以是三生万物。

看到第140页了。与其说我在学习新知识，不如说我在复习旧知识。因为书中内容在其它相类似的书中都看过。这些内容被不同的作者炒过来炒过去，只要作者立志写一本有关高考压轴题的书，这些内容通通都绕不过去，都要涉及。比如这些内容在北京十一学校李锦旭老师的书《高考数学压轴题破题36计》中，在吴梓帆的《高中数学培优笔记——灵活思考与技巧解析》书中等等。我们看书策略也是精通一本，粗看其它本。研究高考压轴题的书绝大部分是大同小异。比如求数列通项公式或是解各种数列不等式的方法每种书都介绍得差不多。但注意，只有全看过，才知道差不多。

看到第140页，我也发现写读书心得有点写不出来。因为都重复了。书中内容相类似，所以产生不了新感慨，虽然书作者不同。

5、此书《更高更妙的高中数学思想与方法（第十三版）》（蔡小雄◎著）看到第182页了，共450页。此时心情是忧郁低迷心灰意冷。我们看这些书有个朴素的愿望，那就是看了之后，解题能力能够大幅度提高，能引起质变，能脱胎换骨。但我看了之后发现解题能力是有那么一丁点进步，但只是微进步。遇到一些高考题还是不会解，有些解法依旧想不到。如果一位老师立志投身于基础教育，其实教大学也吃得消，那他解题能力的最高处是奥数金牌教练。再上去是没有职位来配上老师的解题水平。我想把自己培养成能有奥数金牌教练的解题水平。学习是不积跬步无以至千里，学习没有捷径，没有飞机或火箭可乘，只能走路，最多跑步。学习就是脚踏实地一步一步走，腿迈得再大，也长不过身高。这是个令人绝望的真相，但不得不接受，只能知难而后行。我的愿望能实现吗？

全国许多顶尖老师都研究高考压轴题，表面上看是大同小异，所以一些内容会被这些老师炒过来炒过去，但就像炒菜，虽然食料差不多，但炒法不一样，各有特点。你不能说粤菜好吃，川菜不好吃，浙菜一般般。其实都是中华名菜，都好吃，只不过一方水土养一方人，不同地方口味不同。我已经看到《3.6运用曲线系方程》，这个知识点每个研究高考压轴题的名师都炒。苏立标老师、李锦旭老师、吴梓帆老师都在炒如何运用曲线系解题。曲线系包括一次曲线系，二次曲线系等。那他们炒作的方法有什么区别呢？衡量炒得好不好的标准是写起来有没有给人通俗易懂感？而不是晦涩难懂。我目前也看不出来这炒法有什么区别，都差不多。可能炒的侧重点相同，但内容取舍上不一样。有的全面炒，一个都不落下。有的只炒重点，不重要不炒。

《3.6运用曲线系方程》看完了。以前看过类似的内容，但差不多全忘记了，只记着看书的感觉。我记着在某一本书中，具体哪一本忘记了，用二次曲线系证明蝴蝶定理那时似懂非懂。但在此书中第215页【例18】过圆AB弦中点M，任意作两弦CD和EF，CF与ED交弦AB于P、Q。求证：PM=QM。此题也用二次曲线系证明蝴蝶定理，这次彻底看懂了。这也说明此书炒法好于前书。

6、此书《更高更妙的高中数学思想与方法（第十三版）》（蔡小雄◎著）看到第219页了，我突然悟到看研究高考压轴题的书比看数学文化或数学哲学或数学历史的书要难得多累得多。看数学文化或数学哲学或数学历史的书比看研究高考压轴题的书轻松多了。数学文化或数学历史或数学哲学书里的数学比高考压轴题要浅许多，高考压轴题要比数学文化或数学历史或数学哲学书中数学难理解。但数学文化或数学历史或数学哲学书里的数学却有高等数学内容。我们发现它的深度只是高等数学的科普水平，比高考压轴题要浅要好理解。

此书看到第244页了。我想到用一句古诗来表达此刻的感受。那就是刘希夷的《白头吟》：年年岁岁花相似，岁岁年年人不同。因为此书一版再版，今年（2022）是第十三版了，每版都修订，但没有伤筋动骨，所以相差不大，是年年岁岁花相似。我是今年十二月初（2022.12.3）买的，看的人是岁岁年年人不同，去年是他人看，今年是我看。

看到第246页了，此刻心情给人感觉是“无可奈何花落去，似曾相识燕归来”。因为又看到一些一样的内容了，虽然由不同名师撰写。比如切比雪夫最佳逼近线、阿波罗尼斯圆，接下去还有泰勒展开、伸缩变换等。并且此书在介绍这些内容时更详细更符合逻辑。这些内容北京师范大学贵阳附属中学李鸿昌老师、中国地质大学（北京）大三学生吴梓帆都研究过。

看到第262页了。在261页【例5】（2015年高考浙江卷理科）已知函数f(x)=x² ax b（a、b∈R），记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值。

⑴证明：当|a|≥2时，M(a,b)≥2；

⑵当a,b满足M(a,b)≤2，求|a| |b|的最大值。

此题一题多解。其实任何一道高考压轴题都能一题多解。我们老师要做到的是什么？那就是对各种解法会鉴别。解法有好有坏。判断解法好坏的标准是：一能不能直观通俗？二这解法有没有可持续性？即能有助于我们学习高等数学或此法也能解决其他深奥难题。中国有可持续发展问题，即经济的发展不能导致断子绝孙，比如过去高污染企业的发展就是断子绝孙的。数学上也有可持续发展的思想方法。有的方法只能把问题解答到这个程度，再也进行不下去。而有的解法却能轻易解出此题。比如陈景润证明哥德巴赫猜想的“筛选法”只能把哥德巴赫猜想证明到1 2，要证明出1 1需要发明新方法。比如七年前孪生素数猜想证明中数学家张益唐的方法，经过陶哲軒的努力，已经可以证明出素数间距不大于246，要证明出素数间距是2有无穷对，需要发明新方法。每一种方法都有它的边际极限，只要问题超出这个边际极限，那这方法就会失效。所以高考压轴题的每一种解法都有它的边际极限，都有它的使用范围。问题在这范围内则此法可以解决。问题超出这范围，则此法不可以解决。我们老师需要的是会通晓和鉴别。

7、此书《更高更妙的高中数学思想与方法（第十三版）》（蔡小雄◎著）看到第308页了，共450页。期待今年2022年能把此书看完。今天2022.12.19，离2023年只有12天了，还有12天可以看此书。

陈景润读书的方法很特别，他成名之后在一篇文章中谈到：“我读书不只满足于读懂，而是要把读懂的东西背得滚瓜烂熟，熟能生巧嘛！”

陈景润回厦大后，他曾问厦大的教授李文清，我应该读什么书？李文清告诉他应读华罗庚的《堆垒素数论》。 李文清说，陈景润将华罗庚的这本书读了近30遍，反复演算，并写出了第一篇论文《他利问题》。

据陈景润自己回忆：“《堆垒素数论》我一共读了二十多遍，重要的章节甚至阅读过四十遍以上，华先生著作中的每一个定理我都记在脑子里了。”

华罗庚的《堆垒素数论》是经典的数学名著。蔡小雄老师的此书《更高更妙的高中数学思想与方法（第十三版）》是经典的高中数学教辅书。老师如果像陈景润读华罗庚的《堆垒素数论》一样读蔡小雄老师的这本书，你说会产生怎样的效果？那高考压轴题基本能做到秒杀，跟蔡小雄老师一样有强大的解题能力。什么是经典？那就是让人越读收获越多的书。我做不到去读第二遍，所以收获也不多。期待有老师像陈景润读华罗庚书一样读蔡小雄老师的这本书。什么是经典？那就是让人就算读了几十遍欲罢不能还想读的书。

有一种技巧叫没见过世面。因为没见过世面才觉得是是大奇大怪很高明。只要见过世面就不足为怪很平常了。我已经看到第312页了。书中一些技巧我想不到，是因为我笨吗？其实不是的。你叫一个100年前的人去购物，他想得到还是想不到可以网络购物？但在今天每个人都知道网络购物。你想不到网络购物是因为你没见过世面。网络购物这方法高超吗？是难以理解吗？都不是。它是现代购物的通性通法，普遍、平常。所以这个时候我们就有学习的必要性了。比如蔡小雄老师的书要认真研读，读他书就是去见世面，去开阔眼界，于是一些东西也就见怪不怪了。

8、此书《更高更妙的高中数学思想与方法（第十三版）》（蔡小雄◎著）看到第314页了，共450页。有些高考压轴题在别的著作中看过，但在此书中再次看到时，想让自己先证明出来，再看蔡小雄老师的解答，但遗憾，自己还是不会证明。只有自己亲自做出来的题目下次碰到时还是会做出来。看别人解题和自己亲自解题有什么区别？一般情况下看别人解题只是知其然不知其所以然，就算知其所以然，也是知一点点其所以然，绝不会是知何由以其所以然。因为看书人看得很粗略。数学教育家傅种孙先生曾言:“几何之务不在知其然,而在知其所以然;不在知其然,而在知何由以知其所以然。这为数学解题教学标明了三个递进的境界:一是知其然,二是知其所以然;三是知何由以知其所以然。所以看别人解题只有达到第三境界，下次遇到相同题时才会解。

此书看到第354页了。书中许多试题是蔡小雄老师亲自编制。我教书23年了，但没编制过一道题。我1976年生，1999年参加工作。我命制过试卷，但试题不是自己编的，而是来自网络。蔡老师不但编题，而且是编压轴题。他如何编？我发现他编题时想考查学生这几个知识点和这几种技巧或这一个思想方法比如分类讨论，那他就把这几个知识点和这几种技巧及思想方法当成骨架，即把出题意图当成骨架，然后添血添肉，最后造出一个漂亮完整的活人。好的题目是有灵魂的，就像人具有精、气、神。

看到第370页了。在第365页【例29】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-1/3。

⑴求动点P的轨迹方程；

⑵设直线AP和BP分别与直线x=3交于M、N，问：是否存在点P使得⊿PAB与⊿PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

此题有九种解法，占了6页纸。学生可能疑问我到底用哪种方法解题？学生感受是乱花渐欲迷人眼，不知从哪里入口？九种解法九种入口，哪种解法好？

此题入口很宽的，不同的人会有不同的深入路径，于是有不同的解法。其实不是哪种解法好不好的问题，而是哪种解法适合不适合自己的问题，适合的就是好的，不适合的就是不好的。我们不讨论哪种解法简单？哪种解法复杂？而是找到适合自己的解法。你觉得哪种解法马上把它做出来你就选哪种。哪种解法让你文思泉涌你就选哪种。哪种解法让你憋屈，你就不选哪种。

9、此书《更高更妙的高中数学思想与方法（第十三版）》（蔡小雄◎著）看到第 412 页《第六章更高更妙的高中数学知识与公式大全》，共450页。

我高中毕业23 年了，今天是 2022.12.21。我 1976 年生。我高中时代，圆锥曲线是高中数学中重要内容，圆锥曲线题也往往是高考压轴题，23 年过去了，圆锥曲线依旧是重要内容，高考也依旧把它当压轴题，但有关圆锥曲线题的创新不大，给我感觉解题感受与 23 年以前一样。我高中时代，导数、向量、概率统计统统没学。23 年过去了，高中数学内容不变的是函数（包括三角函数）、排列组合、解析几何、立体几何。这些旧内容只要跟新内容没有结合，那有关编得高考试题创新都不大。高考新题型大部分是有关高中数学的新内容或新旧内容结合的题。比如概率统计大题或与数列结合的题，或导数与数列结合的题等等。有时大题中的三角函数题创新也不大，没有与新知识结合起来。

每个老教师可以自我测试一下，我们解高考试题，解哪些题与二十年前解高考题感觉一样？解哪些题与二十年前解高考题感觉不一样？我们只记得感觉，不记得知识和试题。我们看书或解题过不了很长时间，知识和试题忘记了，但看书时给你的心里震撼和解题时给你的美妙感觉却留在了你心里。这些感觉在你后续的学习与解题中起着重要作用，增加了你的学习能力和提高了你的解题水平。通过感觉，我们可知我们大脑里的认知结构改变了，变得高级、先进了。这种感觉用一个比喻表示就是大脑里的线路接通了，灯泡亮了。有些亮了的灯泡是旧的，有的亮了的灯泡是新的。

此书今晚 7:30（2022.12.21）看完了。没想到这么快，我以为要看到下个礼拜。