为什么每年高考数学很难（说说数学为什么重要）

作者：读裁者黄远辉，专注人文历史，质量标准，知识产权

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我们接着上篇（上篇请关注回看）继续唠……

相信大家都喜欢聆听优美的音乐，不管是古典音乐还是流行音乐，音乐其实也是数学。

音乐的音高是由乐器震动的频率决定的，如果一个声音的震动频率为f，另一个声音的震动频率是2f，那么后一个声音就是前一个声音的"纯八度"高音。同理道理，如果一个声音的频率为f，另一个声音的频率为f的一半f/2，那么后一个声音就是前一个声音的"纯八度"低音。

中国古代的音阶叫"五声音阶"，即"宫商角徵[zhǐ]羽"五个音。宫相当于西方音乐的1（do），商相当于2（re），角相当于3（mi），徵相当于5（sol），羽相当于6（la），中国古代音乐没有4（fa）和7（si）这两个音。所以，一个乐谱如果没有4（fa）和7（si）两个音，天然就带中国风。

古代中国的音乐理论中，有个律学理论叫做"三分损益法"。根据"三分损益法"，"宫"是基本音，在此基础上经过多次"三分损益"，其它的四个音阶相应产生。《管子·地员篇》《吕氏春秋·音律篇》对"三分损益法"均有记载。《史记·律书》《汉书·律历志》中的音乐理论，也基本来源于《管子》《吕氏春秋》。

《管子·地员》第五十八篇记载："凡听徵，如负猪豕觉而骇。凡听羽，如鸣马在野。凡听宫，如牛鸣窌中。凡听商，如离群羊。凡听角，如雉登木以鸣，音疾以清。凡将起五音凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足，以是生商。有三分，而复于其所，以是成羽。有三分，去其乘，适足，以是成角。"

历史记载，管仲只相生出宫、商、角、徵、羽五个音，《吕氏春秋》的"音律篇"在管仲五音的基础上又继续相生了11次，相生到"清黄钟"，至此完成了十二律相生。但当相生到第11次（即到十二律）后的"清黄钟"时（至于"清黄钟"是什么鬼，大家不用理，总之十二律就是一个数学问题），"清黄钟"不能回到原出发律上，使十二律不能周而复始，这一问题一直都没有很好地得到解决。

直到万历十二年（1584年），朱载堉（明太祖九世孙，不得不说，有明一代，老朱家能工巧匠辈出，有精于书画的，有精于木匠活的，有精于音乐的，唯独在治国上没有出彩的人物）首次提出"新法密率"，推算出以比率1：¹²√2将八度音等分为十二等分的算法，并据此制造出十二平均律律管及律准，是世界上最早的十二平均律乐器。朱载堉的这一成就震撼世界，中外学者尊崇他为"东方文艺复兴式的圣人"，列为"世界历史文化名人"。

"三分损益法"理论是世界上最早制定的"十二律"的理论，比古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯的"律制"要早一个世纪左右。

古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯曾提出"五度相生律"（又被称为"毕达哥拉斯律"），毕达哥拉斯认为宇宙和谐的基础是完美的数的比例，认为弦长比分别为2：1、3：2、4：3时发出相隔纯八度、纯五度、纯四度的音程定为完美的协和音程，并将纯五度作为生律要素，由此产生"五度相生律"。根据毕达哥拉斯的理论作出来的音乐，听起来像狼音，又叫毕达哥拉斯狼音，这个大家经常会在西方电影中的教堂听到类似单调的音乐，特别是惊悚片。

音名用CDEFGAB表示，对应着钢琴上不同的键，钢琴中央音区中有个音名叫做A键，对应的频率是440HZ，钢琴上有88个键，用七个音名表示显然不够，我们还有黑键。黑键对应着半音，就是在音名前加个升降号表示，如#C表示C和D音之间的半音。

音乐中还有个词叫"八度"（还有调性、对位、和声等，因为不是我们这个话题的重点，这里不展开说），本质是两个音频率之间的二倍关系，当我们说把这个音升高八度，就是把这个音的频率乘以二。每一段CDEFGAB及其半音之间满足"十二平均律"的频率关系，我们确定了钢琴上中央音区A的频率（440HZ），再根据"十二平均律"就可以确定CDEFGAB对应的频率，然后再根据八度关系，往前往后计算，从而确定钢琴上88个键的频率。

一个音的频率是f，升高八度，频率乘以2就是2f，f和2f之间按照比例平均分出12个音，这是一个等比数列，经过计算得出这个等比的值约为1.0594，这个跟朱载堉的算法是一样的。

巴赫（被称为"西方音乐之父"）于1722年发表《十二平均律曲集》（英文名称为《The 48》，48首前奏曲与赋格），彪罗把它比喻为音乐上的《旧约·圣经》，贝多芬的32首钢琴奏鸣曲全集被喻为音乐上的《新约·圣经》。巴赫之后的音乐才叫真正的音乐，他创作的宗教康塔塔、清唱剧、赋格曲一直传唱至今，《平均律钢琴曲集》《G弦上的咏叹调》《勃兰登堡协奏曲》《哥德堡变奏曲》等作品，是巴洛克音乐的典型代表作。

20世纪二十年代初，勋伯格、韦伯恩、贝尔格师徒三人（被称为新维也纳乐派）放弃传统的调式、调性与和声体制，将半音音阶中的十二个音任意排成一个音列，然后以倒置、逆行等技法加以处理，除非所有的音都出现过，否则任何一个音不得重复，这就是无调性音乐，也叫十二音技法音乐。

不管是"三分损益法"，还是"五度相生法""十二平均律""十二音技法"，背后的底层逻辑都是数学，音乐皆数，万物皆数。

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2020年的高考刚刚结束，网上有不少热门专业的排名，不管怎么排，与数学息息相关的专业，比如计算机科学与技术、会计学、统计学、数学与应用数学、金融学等一定榜上有名。人工智能、机器人、大数据技术等新兴学科，也跟数学息息相关。

如果你是一个有"数学焦虑症"的人，该怎么适用大数据时代、信息时代的到来？很多同学觉得，我们在学校所学的数学知识看上去不过是一堆沉闷的规则、定律和公理，世界知名数学家乔丹·艾伦伯格在《魔鬼数学》一书中告诉我们，这样的认识是错误的。数学与我们所做的每一件事都息息相关，可以帮助我们洞见在混沌和嘈杂的表象之下日常生活的隐性结构和秩序。数学是一门告诉我们"如何做才不会犯错"的科学。

你应该提前多长时间到达机场？民意调查的结果真的能代表人们的意愿吗？为什么父母都是高个子，孩子的身高却比较矮？用什么策略买才能中大奖？（想想就很兴奋是不是）《魔鬼数学》一书运用数学方法分析和解决了很多的日常生活问题，帮助大家习得用数学思维思考问题的技能。

艾伦伯格指出，数学可以让我们更好地思考：它可以磨练我们的直觉，让我们的判断更敏锐，它还可以驯服不确定性，让我们更深入地了解世界的结构和逻辑。拥有了数学工具，我们就可以把那些我们想当然的事情看得更透彻，从而做出正确的决策。

小孩子为什么学习能力很强，因为他遵循的是贝叶斯学习方法（这个我以前在《数理人生》中专门说过，请关注回看），关于贝叶斯我觉得小岛宽之的《统计学关我什么事》这本书写的很好，通俗易懂，如果你对贝叶斯概论论感兴趣，这本书值得一读。

当然，具体的数学应用都属于"术"的层面，包括我们常说的奥数比赛、数学高考题，真正要激发起对"数学"的热爱（很多人表示爱不起），一定要上升到"道"的层面，像陈景润、陶哲轩那样，不为高考加分，不为考985、211，纯粹就是喜欢数学的简洁美、哲学美，为的是看清宏大宇宙背后的大道至简、数学之美。"不要问数学能为你做什么，而要问你能为数学做什么。"