数值型数据的整理（数据的机器级表示和处理）

计算机内部处理的所有数据都必须是“数字化编码”了的数据。数字化编码的过程，就是指对感觉媒体信息进行采样，将现实世界中的连续信息转换为计算机中的离散的“样本”信息，然后对样本信息用“0”和“1”进行数字化编码的过程。

1. 二进制只有两种基本状态，使用有两个稳定状态的物理器件就可以表示二进制数的每一位。
2. 二进制的编码，计算和运算规则都很简单，可以用开关电路实现。
3. 两个符号 1 和 0 正好与逻辑命题的两个值 真 和 假 相对应。

在计算机内部，数值数据的表示方法有两大类：第一类是直接用二进制数表示；另一类是采用二进制的十进制数（BCD）表示。表示一个数值数据需要确定三个要素：进位计数值，定/浮点表示和编码规则。

日常生活中基本上都使用十进制数，其每个数位可用 10 个不同符号 0，1，2……，等表示。但在计算机系统中，常用的进位计数制有：二进制，二进制，十进制，十六进制。

整数部分的转换方法是“除基取余，上左下右”。即：用要转换的十进制整数去除以基数 R，将得到的余数作为结果数据中各位的数字，直到上商为 0. 上面的余数作为右边低位的数位，下面的余数做为左边高位上的数位。

小数部分的转换方法是“乘基取整，上左下右”。即：用要转换的十进制小数去乘以基数 R，将得到的乘积的整数部分作为结果数据中各位的数字，小数部分继续与基数 R 相乘，以此类推，直到某一步乘积的小数部分为 0 或已得到希望的位数为止。最后，将上面的整数部分作为左边高位上的数位，下面的整数部分作为右边低位上的数位。

小数点位置约定在固定位置的数称为定点数。顶点表示法用来对定点小数和定点整数进行表示。对于定点小数，其小数点总是固定在数的左边（浮点数的尾数）。对于定点整数，其小数点总是固定在数的最右边。

小数点位置约定为可浮动的数为浮点数。

对于任意一个实数 X，可以表示为：X=(-1)S * M * RE

其中，S 取值为 0 或 1，用来决定数 X 的符号。M 是一个二进制定点小数，称为数 X 的尾数；E 是一个二进制定点整数，称为数 X 的阶或指数；R 是基数，可以取值为 2，4，16 等。

在基数 R 一定的情况下，尾数 M 的位数反映数 X 的有效位数，它决定了数的表示精度，有效位数越多，表示精度就越高；阶 E 的位数决定数 X 的表示范围；阶 E 的值确定了小数点的位置。

一个数的原码表示由符号位直接跟数值位构成。因此，也称 “符号-数值” 表示法。原码表示法中，正数和负数的编码表示仅符号位不同，数值部分完全相同。

正数的补码符号为0，数值部分是其本身。

负数的补码等于模与该负数绝对值之差，即符号位为 1，数值部分取反再加一。

补码采用的是模运算，故绝对值相同的正数和负数相加会等于模 2n。

由于是模运算，绝对值相等的正数和负数关于 2n-1 对称。越靠经对称轴的值（不管正数还是负数）都越大。

由于是模运算，补码表示可以实现加减运算的统一，即用加法来实现减法运算。

计算机中的整数分为无符号整数和带符号整数。

无符号整数：当一个编码的所有二进制位都是用来表示数值而没有符号位时，该编码表示的就是无符号整数。此时默认数的符号为正（用于表示指针，下标等）。对应的数的值范围为 0~2n-1

带符号整数：必须有一个二进制位表示符号。n 位带符号整数的表示范围为：-2n-1 ~ 2n-1-1 。

C 语言中允许无符号整数和带符号整数之间的转换，转换前，后的机器数不变，只是转换前，后对其的解释发生了变化。

浮点数是用一个定点数来表示浮点数的尾数，另一个表示浮点数的阶。由于两个定点数的位数是有限的，因而浮点数的表示范围也是有限的。 以 32 为浮点数为例：其表示为：

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非规格化数浮点数的偏移量是 2^7（128），即 0 的阶码为 10000000。故阶码能表示的最大数为 127，最小数为 -128。

非规格化数的位数为 24位，表示形式为：0.1bbb……b，其中第一位 1 不明显表示出来，这样可以用 23 个数来表示 24 位尾数。

非规格化浮点数的表示范围：

• 负数： 最大值：-0.10……0 * 2-128 = -2-129最小值：-0.11……1*2127 = -(1-2-24) * 2127
• 正数： 最大值：0.11……1 * 2127 = (1-2-24) * 2127最小值：0.10……0 * 2-128 = 2-129

由上看出，正数和负数的取值范围关于 0 对称。

浮点数尾数的位数决定浮点数的有效数位，有效数位越多，数据的精度越高。为了在浮点数运算过程中尽可能多地保留有效数字的位数，使有效数字尽量占满尾数数位，必须在运算过程中对浮点数进行规格化操作。

对浮点数进行规格化，除了能得到尽量多的有效数位，还可以使浮点数的表示具有唯一性。

目前几乎所有计算机都采用 IEEE 754 标准表示浮点数。在这个标准中，提供了两种浮点格式：32 位单精度格式和 64 位双精度格式。

• 32 位单精度格式包含 1 位符号 s，8 位阶码 e 和 23 位尾数 f;
• 64 位双精度格式包含 1 位符号 s，11 位阶码 e 和 52 位尾数 f;

其基数隐含为 2，尾数用原码表示，规格化尾数第一位总为 1，因而可在尾数中缺省第一位的 1，该缺省位称为隐藏位，隐藏一位后使得单精度格式的 23 位尾数实际表示 24 位有效数字。IEEE 754 规定隐藏位 1 的位置在小数点之前。

IEEE 754 标准中，阶码用移码表示，偏置常数并不是通常的 2n-1，而是 2n-1-1，因此，单精度和双精度浮点数的偏置常数分别为 127 和 1023。

偏置常数这样选取的好处：

1. 尾数可表示的位数多一位，因而使浮点数的精度更高。
2. 阶码的可表示范围更大，因而使浮点数范围更大。

偏置常数为127的阶码表示范围：-126~127。 偏置常数为128的阶码表示范围：-127~126。 由于IEEE754中规定了非规格化浮点数的阶码为-126，且隐藏位表示0。 故非规格化浮点数表示的范围为：0~1.11……1*2^(-127)。 能够覆盖掉偏置常数为128中的一个子序列。故选择偏置常数为127。

非规格化数的特点是阶码全为 0，尾数高位有一个或几个连续的 0，但不全为 0。隐藏位为 0，并且单精度和双精度浮点数的阶分别为 -126 和 -1022，故浮点数的值分别为：(-1)s * 0.f * 2-126 和 (-1)s * 0.f * 2-1022 。

非规格化数可用于处理阶码下溢，使得出现比最小规格数还小的数时程序也能继续执行。