欧拉公式初中数学（欧拉公式的几何证明与意义）

本文为“2022年第四届数学文化征文活动，我来为大家科普一下关于欧拉公式初中数学?以下内容希望对你有帮助!

欧拉公式初中数学

本文为“2022年第四届数学文化征文活动

欧拉公式的几何证明与意义

作者 : 陈彦宇

作品编号：093

许多教科书中喜欢用泰勒展开来证明欧拉公式。

余弦的泰勒展开：

正弦的泰勒展开：

相加，逆用指数函数的泰勒展开：

Part I 指数函数与e

要理解欧拉公式，首先要理解e，即自然对数的底。 e = 2.71828…

e在数学中十分常见，从光的衰减到用于近似阶乘的stirling公式，从自然对数到正态分布，都有它的身影。毫不客气地说，他是知名度仅次于的数学常数。e最早是在研究复利时被提出的。

假设李华有一单位的本金，存进了银行，年利率为r。那一年之后，他就有了（1 r）单位的钱，但是银行一年结算几次呢？如果银行一年结算2次，则每半年的收益率相应的减为r/2，那一年后李华的总收益就有 。因为r/2也被计入了本金额外产生的利息使李华的总收益增加了。当一年分期越多，总收益就越多。但当期数n趋于无穷时，总收益并不会趋于无穷，。而是趋于一个确定的极限，也就是e。这里的关键在于，虽然n趋于无穷，但每期的收益1/n也在减少。最后两者互相抵消，刚好收敛在一个确定的值。这就是大名鼎鼎的自然对数的底。以时间为自变量对李华的银行存款作图，就得到了我们熟悉的指数函数exp。但如果此时，那么可以发现极限收益率为。

当原本要变化r时，把变化细分成无穷份，每次变化1/n，那最后得到的就是。如果e上放的是虚数，比如iπ，那么发生的是什么？这对应了极限r替换成iπ时的情景，但还是太复杂了，不易处理。

Part II 复数乘法

这是一根数轴

将-1开根号，我们就得到了虚数单位i。

所有实数与虚数组合在一起，就得到了全体复数，也可以说是复平面。复数的加法很简单，只要把数的实部和虚部相加就可以了。

反映在复平面上，就是两个复数对应的向量相加。

例：(a bi) (c di)

= a c bi di

= (a c) (b d)i

但复数乘法却非常复杂，我们要用乘法分配律展开四项，化简处理后，才能得到一个仍然复杂的式子。

复数乘法难道就只有如此粗鄙的理解方式吗？答案是否定的。

例：

=

=

当复数被放在平面上时，我们不仅能用复数的坐标，还能用复数的模长与幅角来表示复数的值。

这两种描述方式是等价的，这就好像把复平面看作极坐标一样。下面，我们来看几个具体的例子。比如，对于复数,它与实轴的夹角为，模长可以根据勾股定理推算出为2。

那如果让它的幅角是呢？利用三角函数，我们很快就求出来对应的复数是。

我们关心的是，两个复数相乘，会发生什么？面对这样一个复杂的数学问题，一个好的习惯就是从例子入手。我们不妨先考虑的情况。

打开四项，用i = -1化简，再将实部与虚部合并同类项，最终得到了。这个结果的幅角是，恰好是两个复数的幅角相加！而它的模长是4，恰好是两个复数模长的乘积！

到了这里，我们好像发现了一个规律：两复数相乘，结果的幅角为因数幅角相加，模长为因数模长乘积。不过，这是我们观察归纳出的结论，并不严谨，事实上，可以通过三角函数的和差角公式，来严格证明一般情况下这一结论。

这意味着什么？这意味着我们对复数乘法有了一种全新的，强有力的理解方式，复数乘法不再是一坨坨晦涩的代数推导，而是被赋予了鲜明的几何意义。

有了复数乘法的几何意义后，我们终于可以直面欧拉公式了。

当我们乘以时小三角形变矮了，因为虚部变少了。当我们再乘以，根据复数乘法的几何意义，我们只要转过相同的角度，放大相同的倍率。从1怎么到，从怎么到它的平方。注意到了吗，扫过的区域任然是一个直角三角形，因为两个三角形是相似的，我们乘以了同一个复数。那n=3呢？以此类推。通过观察所知，随着n不断增大，这些三角形会不断弯曲收拢，最后当n趋于无穷时形成一个半圆。这也就对应了连乘积会越来越趋于复平面左边，可这是为什么呢？让我们来看每个三角形，当n很小时，他们都是直角三角形，斜边与直角边相比每一步都增加了很大的比例。当n很大的时候，斜边与直角边几乎相等，乘上一个几乎不改变原来的模长。当n趋于无穷时，每个三角形近似成了一个很扁很扁的扇形，模长便不再增长了。而整个一连串的三角形变成了一个真正的弧形。

有人可能会觉得这样证明不严谨，每个三角形的增量是无穷小，可以看作扇形，但无穷个三角形就不一定了。1加无穷小为1，但1 无穷小的无穷次方就不一定了。严格来说，这是一个1的无穷次方的未定式。但实际上可以证明，每个三角形带来的模长增量是1/n的高阶无穷小，因此连乘n次的极限结果还是1。受篇幅限制，我就不展开了，有兴趣的可以参考高数课本。

言归正传，我们的任务是：确定这个扇形的终点在哪里？确定了终点在复平面上的位置，我们也就确定了原来连乘积的极限，进而也就确定了e^iπ的结果。看上去-1是一个非常显然的结果，但我们希望能得出一个更加具体的解释。实际上这并不难，回到n = 1的情况。

大三角型的竖直直角部，长度是；当n趋于无穷时，每个小三角形意味着乘以，它的直角边边长就是/n。所有小三角型的短直角边共同构筑了大圆弧的弧长，因此整条圆弧的弧长就是。根据弧长公式，我们立马得到结论：圆心角是，这确实是个完整的半圆。由于半径是1，圆弧的中点就是复平面上的-1，从而我们也证明了欧拉公式，。

数学中有一句话：当一个公式出现时，你一定要去问自己，那个圆在哪里？

当我们谈论欧拉公式时，千万不要认为欧拉公式是变了什么戏法，在实轴上把e变成了-1；恰恰相反，欧拉公式的奥妙在复平面上，它借助极限与单位圆的力量，在实轴上方进行升维打击，绕了一大圈后才来到了-1，如果只有实轴，是不可能完成这一任务的。换句话说，欧拉公式的那个圆，在复平面上。

现在，我们已经对欧拉公式有了形象而扎实的理解。如果公式中出现在复指数上的不是，而是任意角，那会怎么样= ？

当复指数上带入另一个复数，我们仍然可以通过极限来理解。

=?

进一步，我们可以回到熟悉的复平面上通过几何的直觉来理解它。回到刚刚的三角形和弧形，此时，小三角形的短直角边长都变成了θ/n，而不是π/n。最后的弧长也相应变成了θ，而不是π。

逆用弧长公式，此时的圆心角就是θ。

终点落在的位置，即。

例如，当θ = π/2，圆弧的圆心角便是一个直角，终点恰好落在虚轴上，即虚数单位i

当θ =π时，我们就回到了之前的情况，这样我们就得到了更一般的欧拉公式：

你以为故事到这就结束了吗？不，才刚刚开始。欧拉公式与圆有着千丝万缕的关系，许多科学领域用它来表示旋转。在θ中插入ωt，我们就有了一个随时间t增长的圆心角，这，就是旋转，一种可以被数学语言描述的旋转。在力学与电学中，科学家用它来表示振荡；在光学中，物理学家用它来表示电磁波的相位；甚至在傅里叶变换和量子力学中也因此有了欧拉公式的身影。可以说，欧拉公式已经成为理工科不可替代的一块基石，在机械、光学、电力、原子物理等领域有着重要的作应用，并进而影响着我们生活的方方面面。

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