高中数学外接球问题的（高中数学空间几何体的外接球问题探究）

空间几何体的外接球问题探究

文/强哥

【摘要】尽管新课标对球的考查降低了要求，球面距离在考试中已经不会出现，现在的高考对多面体与球的考查是非常基础的，但这并不意味着可以忽视这部分的教学，在平时的教学中发现，只要是与球有关的问题，学生都无从下手，因此将空间几何体的外接球问题的类型及解法进行多方面的探讨。

【关键词】高中数学；空间几何体；外接球；球心

空间几何体的外接球问题是高考试题的热点问题之一，因为与球有关的几何体很难直观地作出图像，所以这类问题对学生的空间想象能力以及化归能力要求很高。下面介绍几种与空间几何体外接球有关的问题，并归纳总结确定外接球球心的常见方法。

一．求球的内接几何体问题

将立体几何问题化归为平面几何问题是重要的解题方法，因此在空间几何体中寻找平面是主要的解题方法，从不同角度分析截面，归纳有效的平面，设球心到截面的距离为

，截面圆的半径为

，球的半径为

，则有

。

例1.（2012年新课标理11）已知三棱锥

的所有顶点都在球

的求面上，

是边长为

的正三角形，

为球

的直径，且

,则此棱锥的体积为（ ）

【解析】

的外接圆的半径

，点

到面

的距离

为球

的直径

点

到面

的距离为

此棱锥的体积为

。

例2. （2011年新课标理15）已知矩形

的顶点都在半径为4的球

的球面上，且

,则棱锥

的体积为 。

【解析】设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=

,

OM=

，

。

二．求空间几何体的外接球

1．与长方体有关的外接球问题

长方体从一个顶点出发的三条棱分别为

，则体对角线长为

，几何体的外接球直径

为对角线长

，即

因此将多面体“补”成长方体（正方体）是研究多面体外接球的常用的办法。

（1）三条棱两两垂直的几何体的外接球

例3. （2008年福建理15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为

，则其外接球的表面积是____.

【解析】由题意，可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径,则其外接球的半径

于是其表面积

例4.三棱锥

中，

平面

，

，若

，则该三棱锥的外接球的体积是 。[来源:学科网ZXXK]

【解析】“补体”，将三棱锥补成长方体，如图所示：

它的对角线PC是其外接球的直径，所以

故它的体积为：

（2）正四面体的外接球

例5. （2006年山东理12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为（ ）

A．

B.

C.

D.

【解析】有题设可知，三棱锥

为棱长是1的正四面体，其外接球的半径为

，于是三棱锥外接球的体积为

（3）相对棱两两相等的四面体的外接球

例6.四面体

中，

求四面体

外接球的表面积.

【解析】由题意，可将四面体

补成棱长分别为3,4,5的长方体，长方体的外接球即为四面体

的外接球，所以其外接球的半径

所以四面体

外接球的表面积为

2.具有公共斜边的直角三角形的几何体的外接球

利用直角三角形斜边中点到各顶点距离相等这个原理，若几何体是由有公共斜边

的几个直角三角形组成，那么斜边中点就是几何体外接球球心.

例4．方法二：“找球心”（到三棱

锥四个顶点距离相等等的点）.注意到

是

和

的公共的斜边，

记它的中点为

，则

，即该三棱锥的外接球球心为

，半径为1，故它的体积为

例7.如图，平面四边形

中，

，

，将其沿对角线

折成四面体

，

使平面

平面

，若四面体

顶点在同

一个球面上，则该球的体积为( )

A.

B.

C.

D.

【解析】由已知可求得

因为

又因为

，所以

的中点为球心，所以半径

球的体积

三．一般三棱锥的外接球

一般几何体的外接球问题是难点，要找出球心即到各个顶点距离相等的点，需充分利用多边形外接圆圆心到多边形顶点距离相等原理，再结合轨迹知识从而找到球心.

例8.已知三棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）

【解析】由三视图可知，几何体底面是顶角为

，底边长为

的等腰三角形，所以其外接圆的直径

球心到截面距离

所以外接球半径

外接球体积

四．其它特殊几何体的外接球

正棱锥、正棱柱、圆锥、圆柱这些特殊几何体的外接球问题，也是高考的重点内容之一，要充分利用这些特殊几何体的性质，尤其是对称性，找到球心位置，从而求出外接球的体积或表面积.

例9.（2008年新课标理15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

，底面周长为3，则这个球的体积为 ．

【解析】因为正六边形周长为3，得边长为

故其主对角线为1，从而球直径

所以球的体积

.

例10.（2010年新课标理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为

，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

A.

B.

C

.

D.

【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为

的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球半径为

球的表面积为

例11.正四棱锥

的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为

，则这个球的表面积为 .[来

【解析】正四棱锥

的外接球的球心在它的高

上，

记为

，

或

（此时

在

的延长线上），在

中，

得

，∴球的表面积

例12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为___________.

【解析】由三视图可知，几何体是圆锥，该圆锥的外接球球心在高所在直线上，球心到圆心的距离

或

，所以

得

，∴球的表面积

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