数学王国中郡守的故事（蒿里数学沙龙辛酉丑故事数学专栏）

作者 | 重庆 辛酉丑

纬虹仓促办完父亲的葬礼，几天的忙碌，劳心劳力，道师的费用，堂叔的酬劳，都要他亲自打理，特别是打井这种体力活，远比开会念稿子辛苦，弄得纬虹全身肌肉疼痛，上厕所下蹲深感吃力。王家沟的景色很好，处处郁郁葱葱，繁花似锦，纬虹毫无留念之意，只想早点回城休息。他告别堂叔，请飞哥代他开车，汽车在乡村公路上颠簸，缓缓的向江城方向前行。

纬虹坐在后排，头靠座椅上，窗外的乔木擦肩而过，让人眼花缭乱，淡淡的植物芳香飘入车厢，熏人欲睡，流动的空气拍打着车窗发出轰轰之声，更让纬虹心烦。他按下电钮，车窗玻璃缓缓上移，纬虹的头在靠背上随着汽车的颠簸有节奏的晃动，他闭上眼睛，如同熟睡的婴儿享受着摇床的摆荡。

纬虹和飞哥、黑娃、燕子来到王家沟的放羊坡，山脚环绕着一条小溪，两岸高挺的是松柏、麻柳，抱团的是马桑、黄荆，还有冲鼻难闻的臭牡丹，乱草中偶尔夹杂着几株苦蒿和蒲公英，坡上的羊群吃着嫩绿的青草，看着行人经过咩咩直叫。纬虹他们走走看看，在坡度较小的路边停下脚步，抓住黄荆枝条，一个接一个沿斜坡滑向小溪。小溪里满是泥沙石块，溪水冲击石块，泛起朵朵浪花。脚下的泥沙从脚趾丫向上挤，滑滑的，痒痒的，懵懂的小鱼在腿肚上穿梭，用手一抓，箭一样的向前窜。最笨拙的是螃蟹，有的藏在土穴中，有的躲在石块下，懒散笨拙的身子，只要快速用手压着它的背壳，两把剪刀干着急的乱舞。飞哥、黑娃是抓蟹高手，他们一手掀开石块，单手也能抓住螃蟹。燕子的特长是捉泥鳅，她把拇指指甲剪成锯齿状，不管泥鳅多滑，都逃不过她的巧手。她还有一个绝招，紧抿嘴唇，用力吸气，发出“滋滋”叫声，稀泥中的泥鳅听到叫声就温顺不动，乖乖的让燕子掐着脖子捞出水面，她曾经在水田的一个脚眼里连续抓了七条泥鳅。小溪泥鳅很少，流动的溪水很难形成脚眼，燕子有劲无处使。她害怕螃蟹的剪刀，只得背着竹笼跟在飞哥和黑娃身后，等着用竹笼装螃蟹。纬虹不喜欢抓螃蟹，忙着追赶小鱼，一会在石块下面掏，一会在水草边上摸，他的运气很差，狡猾的小鱼每一次都从他手中逃离，小鱼逆流而上，纬虹尾随追赶，远远的将飞哥他们抛在下游。

纬虹追到深水区，发现一条大鱼，大鱼有意躲避他，快速狂奔，水面掀起阵阵波浪，看样子应该有一两斤重。纬虹放弃小鱼，专心追赶大鱼，大鱼拼命逃跑，拐了几道弯，钻进一个洞穴失去踪迹。纬虹怀疑大鱼藏在某个角落，他一边用脚搅动溪水，一边走向洞穴深处，突然听到有人说话。王家沟经济发展良好，怎么还有人住山洞？好奇的纬虹朝声音的方向探寻，发现一个会议室，屋里坐满了人，主持人正在讲话。纬虹悄悄的在后排边角位置坐下，前方黑板上写着几个大字：蒿里第十期数学沙龙──不等式证明方法。蒿里是哪个城市？它是一个什么单位？纬虹从未听人说起，他猜想是民间组织。远离城市喧嚣，在如此僻静的地方开会，有眼光、有品位，他觉得今后江城的教育工作会也可以在这里召开。

“下面我们用热烈的掌声欢迎泰山府君为这次沙龙致辞！”主持人洪亮的嗓音在大厅回荡。

一个身着黑袍、头戴黑漆王冠的长者走上讲台。泰山府君是哪个单位的领导，是处级干部还是厅级干部，主持人没有介绍。从泰山府君装扮来看，有点动漫风格，纬虹觉得蒿里的 数学沙龙有点新潮。只见泰山府君从主持人手中接过话筒，清理了几下喉咙就开始讲话：

各位干部、各位朋友、各位数学爱好者，大家好！

我觉得蒿里山的数学沙龙很好，这种学术活动形式新、规模小、主题广泛，虽然我不是数学爱好者，却有幸参加了每期数学沙龙，它拓宽了我的知识，更新了我的观念，丰富了我的科学素养。在数学沙龙中我看到了冥界浓郁的学习氛围，和谐的学术社团，顽强的拼搏精神。在座的有资深的专家学者，也有新来的数学新秀，还是不知名的数学草根，他们相互学习，团结合作，默默的探究科学。作为冥界的管理者，我没有组织大家申报课题，没有组建工作室、也没有给大家任何荣誉，连简单的红本本也没准备，有时自觉失职愧疚。大家都知道上面的花花世界，骨干、名师、先进工作者、未来××家、××劳动奖章、××争光奖、×××人才工程，……，有的人看似不起眼，怀揣荣誉一大摞。我曾想过：冥界有无必要搞一个科学3.0或者数学2050？隆重的搞几次大型学术会，请几个文艺届名人唱一唱、跳一跳，制作“蒿里印象”专题片，再请作家编几个好听的标题，写几篇精彩的文章，推送公众号，营造浓厚学术氛围，把我们蒿里山打造为冥界学术高地。后来一件小事改编了我的想法，我曾私下给主持人说过好几次，有的同志需要荣誉来寻找自信，有的同志需要荣誉来满足虚荣心，还有同志想通过荣誉转世投胎到好的人家。作为冥界干部，有必要、有责任为他们搭建平台。对此，我印制了一些荣誉证书，比如泰山学者、冥界科技英才等等。让主持人通知下面，有需要的同志可以私下和我联系。让我惊奇的是，手中的荣誉证书至今未发出一张。现在我终于明白：什么是热爱，什么是情怀，什么是精神。有了热爱、情怀和精神，一切荣誉都是浮云。各位的低调和情怀让我感动，冥界看似暗淡无光，却有科学精神。有了你们的执着追求，我相信蒿里数学将越来越好，谢谢大家!

会场响起了热烈的掌声，主持人接过话筒说：“各位朋友和数学爱好者，今天我还邀请了钟馗天师和酆都十王殿的秦广王、楚江王，本想请各位领导为这次沙龙致辞，他们很谦虚，拒绝发言，都说数学沙龙应该让数学爱好者畅谈数学。我遵从各位领导的建议，让数学人说数学故事，下面请用掌声欢迎张老先生为我们介绍他的数学方法。”

一位体型消瘦的老先生在掌声中走上讲台。

“各位领导、各为同仁，大家好，主持人让我先发言，不是我数学水平有多高，而是我年龄大，主持人担心冷场，让我带头发言。今天的主题是不等式证明方法，我过去带过一段时间数学奥林匹克国家队，了解数学竞赛中一些陈年旧事。今天我以《不等式证明中的三板斧》为这次沙龙温暖会场，抛砖引玉。”

纬虹不了解数学竞赛，也不知道张先生是谁，这时会场中的数学爱好者早拿出笔记本，记录下张先生在黑板上写的不等式:

已知，且，求证：

张先生说，令，原不等式等价于：

首先挥起第一板斧──切比雪夫不等式，我们可以构造以下两个数组：

设，则.

不等式左边

接下来我们抡起第二板斧──幂平均不等式，可以得到：

最后我们劈下第三板斧──调和平均不等式，可以得到：

要证原不等式，只需证明：.

令 ，，等价于证明

从而可知：原不等式成立。

张先生说，三板斧的威力强大，联合使用可以征服很多不等式，他随即写了一个不等式让大家练习：

已知且，求证：

张先生在掌声中走下讲台，接着上来的是一位年轻人，纬虹觉得有些面熟，一时想不起在哪儿见过。这时年轻人开始讲话：“各位领导、各位专家，大家好！今天我差点到不了会场，参会途中遇到了儿时的玩伴，他是出了名的捣蛋鬼，在小溪中一直追逐我，看样子要对我下毒手，我拐了好几个弯才躲过他。下面我以《导数在增量法中的嵌入》为题，介绍一种不等式证明方法。”年轻人说罢，就在黑板上写了一个不等式：

（第六届IMO试题）在中，求证：

年轻人说，我们用增量法可以将的不等关系转化几个等式：

不妨设，设.

由.

原不等式等价于：

原式左边

如果逐个展开上式，合并同类项，不仅涉及复杂的运算，而且很容易算错，对此，我们以为变量建立函数，然后用导数解答：

令

则在上递减，所以，

从而可知：原不等式成立。

“这个年轻人是谁？”看他朴素的着装和诚恳的神态，纬虹想到了一个人，“旺仔！一定是他。”

“他说儿时的玩伴在小溪中一直追逐他，难道小溪里的那条大鱼就是二十多年前投河自杀的旺仔。”想到这些，纬虹惊愕不已，半响合不拢嘴。

这时年轻人又说：在增量法中嵌入导数，有四两拨千斤之效果，可以减小运算量，提高证明速度。说罢，又在黑板上写了一个不等式供大家练习：

在中，求证：

旺仔在掌声中回到座位，又一位少年走上讲台，纬虹一眼就认出了那个少年，就是给父亲打井时铜罐中的少年。少年接过话筒，说：“大家好，今天我向各位介绍一种新方法──磨光变换，这种方法不是我发现的，是我偶然从人间得到的。我仔细研究发现，这种方法的实质就是调整法。”听说来自人间的方法，大家好奇的睁大眼睛，聚精会神，等待少年的奇招妙解。这时少年在黑板上写了一个不等式：

已知且，求证：

纬虹一看题目，正是打井那天飞哥写在纸条上交给自己，后来被扔进铜罐中的那个题。这时少年已开始讲解：

容易看出：当时，不等式取等号。磨光变换的思路就是将满足条件的三个变量中两个变量调整为相等时，即），原不等式的左边的值变小，这就是证明思路的缘由和起点。

不妨设 ，则 .

令

下面证明：

只需证明：

只需证明：

所以，

令，则.

下面证明：

从而可知：原不等式成立.

少年接着说，这种的方法的优点在于适用性强，只要能证明（#），后面利用函数，再结合导数很容易解决。值得一提的是：这里调整变换不是唯一的，也可以，解题时可以根据题设条件灵活设计调整变换。容易发现，磨光变换在证明（#）这个环节通常涉及复杂的运算。但是，它确是一种通性通法能证明很多的不等式。下面给出一个不等式供大家练练手，说吧，就在黑板上写了一个不等式：

已知，求证：

纬虹不懂磨光变换，也无心关注少年的证明，他担心少年认出他来，打算悄悄溜出会场，这时有人拍打他的肩膀，说：“纬虹，到家了。”

“哎呀！这么大的人了，怎么还流梦口水？”燕子拿出餐巾纸递给纬虹，他擦了擦嘴角和衣服，打开车窗，明媚的阳光让街道越发显得光亮，窗外行人熙熙攘攘，商贩们放开嗓门吆喝叫卖，汽车在小区门前停下，小区对面的江城宾馆门口拉着长长的横幅，上面写着：“××年江城基础教育成果颁奖大会。”燕子急切的问黑娃：“黑哥，你那篇核心期刊论文水平很高，如果参赛肯定能获奖，听纬虹说过，市级奖含金量很高，评职称可以加分。”

作者简介：辛酉丑，重庆潼南人，1991年7月毕业于西南师范大学数学系，重庆南开中学正高级教师，重庆“322”重点人才(二层次)，重庆学术技术带头人后备。主持省级课题2项,主研省级课题2项，参与国家级课题2项；参与编写了大学教材《小学数学教育概论》和重庆地方教材《研究性学习》；出版专著《数学与生活》，《数学解题泄天机》，在《数学教育学报》《数学通报》等杂志发表论文70多篇，其中核心期刊20多篇；数学教育论文曾获全国紫京杯数学教育创新论文一等奖,初等数学论文获全国第二届青年初等数学研究奖；指导学生在《数学通报》等杂志发表文章16篇，指导8名学生进入全国高中数学奥林匹克冬令营，中国数学会三次授予优秀教练员。近几年在西南大学、重庆师范大学、重庆教育科学研究院、重庆第二师范学院、重庆三峡学院以及重庆部分区县教师进修学院和一些中学主讲40多场。重庆晚报、重庆晨报等媒体曾专题报道。

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