复杂的圆面积和周长的计算（利用圆的周长和面积竟然可以计算如此复杂的图形）

利用圆的周长和面积竟然可以计算如此复杂的图形，分割法的妙用。大家好我是小梁老师，这节课我们继续学习复杂图形的周长和面积。

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难题点拨①

下图中，阴影部分的面积是100平方厘米，求圆环的面积。

解题分析：我们知道圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，但是这个题目中外圆和内圆大的半径都没有给出，所以需要间接的去求圆环面积。

设外圆半径是R，内圆半径是r，根据题中条件得，图中阴影部分的面积可以表示为R²-r²＝100平方厘米。

而圆环的面积为：

πR²－πr²＝π(R²－r²)＝3.14×100＝314(平方厘米)

答：圆环的面积是314平方厘米。

想一想做一做以下对应题目：

1.下图中，阴影部分的面积是200平方厘米，求圆环的面积。

2.下图中，阴影都分的面积是100平方厘米，求圆环的面积。

3.下图中，阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积。

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难题点拨②

下图中，阴影部分的周长是14.28分米，阴影部分的面积是多少平方分米?

解题分析：观察图中，阴影部分的周长由圆的两条半径和圆周长的1/4组成，圆周长1/4可由圆的半径表示出来。因此，可设出圆的半径，列方程求出半径，再求阴影部分的面积。

解:设圆的半径为r，

则圆周长的1/4为1/4×2πr＝πr/2

所以阴影部分的周长可以表示为：

2r πr/2=14.28

解得r=4

阴影部分的面积就是:3.14×4²÷4＝12.56(平方分米)

答：阴影部分的面积是12.56平方分米。

想一想做一做以下对应题目：

1.有一个半圆形零件，周长是25.7厘米，这个半圆形零件的面积是多少平方厘米?

2.将一个圆剪拼成一个近似的长方形(如下图)，已知周长增加了10厘米，求圆的面积。

3.下图中，已知半圆的周长是10.28厘米，求阴影部分的面积。

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难题点拨③

右图的中间是一个边长为3厘米的正方形。整个图形的面积是多少平方厘米?

解题分析：这个图形实际上是由一个正方形和

4个1/4圆组成的，它的面积就是一个正方形与4个1/4圆的面积之和。

中间正方形的边长是3厘米，面积是3×3＝9(平方厘米)。

4个1/4圆正好是一个完整的圆，这个圆的半径是3厘米，面积是3.14×3²＝28.26(平方厘米)。

整个图形的面积是9 28.26＝37.26(平方厘米)

答:整个图形的面积是37.26平方厘米。

想一想做一做以下对应题目：

1.求下面各图中阴影部分的面积。(单位:厘米)

2.求下面各图中阴影部分的面积。

3.下图中阴影部分的面积是100平方厘米，圆的面积是多少?

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难题点拨④

将三根一样粗细的圆木像下图那样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面的直径都是3分米，那么至少需要多长的铁丝?

解题分析：这个题目，我们在原图上做一些辅助线就可以看出解题思路了。

从图中很容易看出，铁丝的长正好是一个圆的周长，加上三条直径的和。

一个圆的周长：3.14×3＝9.42分米

铁丝的长度：9.42 3×3＝18.42分米

答：铁丝的长度至少18.42分米。

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难题点拨⑤

下图中四边形ABCD是边长为1厘米的正方形、求阴影部分的周长。

解题分析：从图中可以看出阴影部分的周长是由①②③④四个扇形的弧长外加扇形④的半径减一组成。

扇形①的弧长：2×3.14×(1 1)÷4＝3.14厘米

扇形②的弧长：2×3.14×(1 1 1)÷4＝4.71厘米

扇形③的弧长：2×3.14×(1 1 1 1)÷4＝6.28厘米

扇形④的弧长：2×3.14×(1 1 1 1 1)÷4＝7.85厘米

所以阴影部分的周长是：

3.14 4.71 6.28 7.85 (1 1 1 1)＝25.98厘米

答：阴影部分周长是25.98厘米。

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难题点拨⑥

一个石英钟的时针长4厘米，经过12小时，石英钟的时针的针尖所走过的路程是多少厘米?

解题分析：十二小时时针刚好转过360°，也就是时针针尖的轨迹是个圆。这个题目就是让我们求一个半径是4厘米的圆的周长。

3.14×4×2＝25.12厘米

答：12小时后，时针走过的路程是25.12厘米。

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难题点拨⑦

如图，大圆直径为30cm，4个小圆的直径都是大圆直径的一半，求阴影部分的面积。

解题分析：这个题目主要用到分割法，将原图分割后，再重组图形，刚好是一个正方形，如下图所示：

所以阴影部分的面积是30×30÷2=450(cm2)

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难题点拨1想一想做一做

1.3.14×200＝628(平方厘米)

2.设大正方形的边长是A，小正方形的边长是a，那么大圆半径是A/2，小圆半径是a/2。

由题意知:A²－a²＝100平方厘米

圆环的面积是:

3.14×(A/2)²－3.14×(a/2)²＝78.5(平方厘米)

3.设大圆半径为R，小圆半径为r。

由题意知:R²÷2ーr²÷2＝(R²－r²)÷2＝25(平方厘米)

圆环的面积是:3.14×(R²－r²)＝3.14×25×2＝157(平方厘米)

难题点拨2想一想做一做

1.设半圆形零件的半径是r，依据题意列方程。

2r 2π×1/2＝25.7解得r＝5

半圆形零件的面积是:1/2×3.14×5²＝39.25(平方厘米)

2.3.14(10÷2)²＝78.5(平方厘米)

3.设半圆的半径是r。

2r 1/2×2πr＝10.28

解得r＝2

阴影部分的面积是:3.14×2²×1/2－(2 2)×2×1/2＝2.28平方厘米

难题点拨3想一想做一做

1.(1)13.76平方厘米

(2)31.4平方厘米

(3)1171.5平方厘米

2.(1)57平方厘米

(2)9.42平方厘米

3.628平方厘米

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这节课的内容就讲到这里，希望在这节课你能有所收获。下节课我们学习组合图形的面积计算方法。我是小梁老师，下节课见！

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