最前沿数学理论（最短的数学博士论文只有一句话）

李特尔伍德（J. E. Littlewood）在《Littlewood数学随笔集》中提出这样的问题：一篇数学博士论文原则上可以有多短？

实际上，李特尔伍德问道：“两行学位论文能否应得到奖学金，”但是我以不那么面向

剑桥的方式改述了该问题。——德国波恩马克斯普朗克研究所的察吉尔（D. Zagier）

并给出精确的答案：“两句话。”

为了证明这个断言，他首先指出两句话是下界：

因为数学中的任何论点都至少必须包含定理的表述（一句话）及其的证明（一句话）。

紧接着，他从理论上（尽管在实际中它大概永远不可能）说明了这个下界可以取得，只利用那一时期的数学家所熟悉的结果和观念，皮卡（Picard）的“小”定理——取值避开0与1的整函数是常数——的证明就只要一句话。

然而，李特尔伍德忽略了这样的事实，人们可以通过一句完整的话来缩短论文，即可以将定理的表述作为标题而不是文章的主体（例如，见【2】） 。

此外，他对上界的举例证明也太过复杂，因为有一个比皮卡定理更为著名和简单的定理可以去证明。而且，毫无疑问，它是如此重要，以至于因此而授予作者博士学位完全够格。

所以，我们在此提出李特尔伍德定理的下述修正和改进的版本。

定理：最短的数学博士论文只有一句话。

证明：一句话显然是一个下界，因为数学中的一个论点必须包含一个证明。我们发现，从理论上说，这个下界可以通过以下可能的博士论文的显式构造而得到。

有界整函数必为常数

约瑟夫· 刘维尔（Joseph Liouville）

1844 年提交给巴黎大学数学系，以部分满足自然哲学博士学位授予要求

若是有界的整函数，则根据柯西（Cauchy）先生的定理，对每个复数a，有

所以，是常数。

参考文献

【1】. J. E. Littlewood, A Mathematician’s Miscellany. Methuen & Co., London, 1953.有

中译本《Littlewood数学随笔集》，高等教育出版社，2014年出版。

【2】. D. Zagier, A one-sentence proof that every prime (mod 4) is a sum of two squares, Amer. Math. Monthly 97 (1990) 144.

作者：察吉尔(D. Zagier)

翻译：崔继峰

本文译自Amer. Math. Monthly 121 (2014), 618. 原文标题：“A refinement of a theorem of J. E. Littlewood”.

-----这里是数学怪才会关注的号------

“超级数学建模”（微信号supermodeling），每天学一点数学知识，轻松数学科普，了解最新数学应用，做个好玩的理性派。20万数学精英都在关注！

商务合作请加微信zwz2434

,