角平分线三个基本公式（最神奇的线段）

下面我们就讲解一下角平分线的作法和性质，我来为大家科普一下关于角平分线三个基本公式?以下内容希望对你有帮助!

角平分线三个基本公式

下面我们就讲解一下角平分线的作法和性质。

首先我们讲一下相关概念。

1. 角平分线是指从角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。（如图1）

图1

2.点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，即OP的长度。（如图2）

图2

其次，我们讲讲角平分线的作法：

叠合法如图3所示，将∠BAC对折使AB、AC重合，则AD即为∠BAC的平分线。

图3

2.度量法，即用量角器测量，找出角平分线。

3.尺规作图（重点）

图4

作法：(1)以点O为圆心，任意长为半径作圆弧，与角的两边分别交于M、N两点；

(2)分别以M、N为圆心，大于1/2MN适当的长为半径作弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P；

(3)作射线OP；OP就是所求作∠AOB的平分线。

那么为什么OP是角平分线呢？

如图4所示，OM=ON，MP=NP。下面我们证明OP平分∠AOB。

证明：在△OMP和△ONP中， OM=ON，

∵ MP=NP， OP=OP，

∴ △OMP≌ △ONP（SSS）

∴∠MOP=∠NOP

即：OP平分∠AOB，所以OP是角平分线。

最后，我们讨论一下角平分线的性质。

先将∠AOB先对折

图5

再折出一个直角三角形(使第一条折痕OC为斜边),然后展开，观察第二次折叠形成的两条折痕，你能得出什么结论？

图6

根据角平分线的作法，可知：第一次折痕是∠AOB的平分线OC；

第二次折叠形成的两条折痕PD，PE是角的平分线OC上的P点到∠AOB两边的垂线段。

那么PD与PE长度之间有什么关系呢？如果按同样的方法折第三次，第四次呢？

下面我们验证猜想：

已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上,PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.求证: PD=PE

图7

证明：∵OC平分∠ AOB， （已知）

∴ ∠1= ∠2,（角平分线的定义）

∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB,（已知）

∴ ∠PDO= ∠PEO=90°,（垂直的定义）

在ΔPDO和ΔPEO中， ∠1= ∠2 ，（已证）

∵ ∠PDO= ∠PEO,（已证） OP=OP ，（公共边）

∴ ΔPDO ≌ ΔPEO,（AAS）

∴PD=PE.（全等三角形的对应边相等）

从而我们得出角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.

思考：

如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?

图8

PD , PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任意一点到这个角两边的距离,所以不一定相等.

以上在方法上主要学习了：

⑴运用观察、测量、猜想、验证等方法获得新知识；

⑵解决角平分线的问题的常用方法:从角平分线上的一点向角的两边作(找）垂线段。

⑶证线段相等常用方法：（1）全等，（2）等腰三角形，（3）角平分线的性质。

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