几何鸟头模型解题方法（活用一箭穿心模型求几何最值）

有关线段最值是近年来中考数学热点题型，也是教学中的难点，对于有关线段和之最值，我们常常会想到将军饮马，那么有关于单条线段的最值可能较多的还是圆。我们先来看看圆有关基本知识吧，圆的定义：在同一个平面内，到定点等于定长的点的集合就是圆。那么既然圆最大的特点就是半径相等，那么点与圆上各点间距离比较就显而易见了。

情形1：P为圆O外一定点，则点P与圆心O距离为定值，那么P点与圆上各点的连接线段中，最小值为图1中PA，最大值为图2中PA.

情形1的动态演示

情形2：P为圆O内一定点，则点P与圆上各点的连接线段中，最小值为图4中PA，最大值为图5中PA.

情形2的动态演示

情形3：P为圆上一定点，其到圆上其它各点的连接线段中，最大值为直径，最小值为0.

模型特征总结：一箭穿心（所在的直线必经圆心）

例题1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠APB＝90°，则线段CP长的最小值为 ．

【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．

【解答】∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，

∵∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此

变式1．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA＝∠PBC，则线段AP长的最小值为 ．

【解析】利用∠PCA＝∠PBC得∠PBC ∠PCB＝90°，则∠BPC＝90°，根据圆周角定理的推论可判定点P在以BC为直角的⊙O上，连接OA交⊙O于P，此时PA的长最小，然后利用勾股定理计算出OA=10， 所以PA长的最小值为10﹣6＝4．故答案为4．

例题2．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1C，则A1C的最小值是 ．

【分析】根据题意得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可，解题的关键是学会添加常用辅助圆，构造直角三角形解决问题，不同的突破点是正确寻找点A′的位置．

【解答】由折叠知A′M＝AM，又M是AD的中点，可得MA＝MA′＝MD，做点A′在以AD为直径的圆上，如图2，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H

∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，

∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，

∴2MD＝AD＝CD＝4，∠HDM＝60°，∴∠HMD＝30°，

变式2-1．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是边AD的中点，N是AB上一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'B，则A'B的取值范围 ．

【解析】连接BM，BD，依据M是边AD的中点，△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，即可得到点A'的轨迹为以AD为直径的半圆M，依据A'B A'M≥BM，即可得出A'B≥BM﹣A'M＝4√3﹣4，当点N与点A或点D重合时，A'B的最大值为8，即可得到A'B的取值范围4√3﹣4≤A'B≤8．

变式2-2．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2√3，P为△ACD内一点，连接AP，BP，BP与AC交于点G，且∠PAG＝∠PBC．E为AD边上一动点，则CE PE的最小值为 ．

【解析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质；能够判断出点P的运动轨迹，根据垂线段最短求最小值是解题的关键．由已知可以得到△ABC是等边三角形，点P的运动轨迹在△ABC的外接圆上，过点C作CE⊥AD与圆相交于点P，与AD相交于点E，此时CE PE最小，∵∠D＝60°，AB＝2√3，∴CE＝2√3×√3/2＝3.

变式2-3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝4，点E是BC的中点，点F在CD边上，点C关于EF的对称点为C′，连接EC′，FC′，当点F从C运动到点D的过程中，AC′长度的最大值与最小值的差为 ．

【解析】先确定最大值：①当F与C重合时，C′与C重合，AC′＝AC最大，作对角线求AC即可,可求得 AC′＝AC＝4√3；

②如图2因为C与C′关于EF对称，所以当点F从C运动到点D的过程中，C′在以E为圆心，以EC为半径的圆上运动，当点C′在AE上时，AC′最小，构建直角三角形利用勾股定理求AE和C′E的长，根据AC′＝AE﹣C′E＝2√7﹣2，最后计算最大值与最小值的差4√3﹣（2√7﹣2）＝4√3﹣2√7 2，AC′长度的最大值与最小值的差为：4√3﹣2√7 2，故答案为：4√3﹣2√7 2．

例题3．已知菱形ABCD中，∠BAC=60°，AB=4,点E为AD的中点，如图，现将△ACD以点C为中心进行旋转，求BE的最大值和最小值。

【解析】我们先看旋转某个角度的图形，如下图，我们仍然可以类比对折时求最值的思路，先确定要求线段的两端点中，哪个是动点，其运动所在轨迹是否是圆，再由旋转找到定长，即圆的半径。当圆作出来时，最大值和最小值就都迎刃而解了。BE的最大值为4 2√3，最小值4-2√3.

例题3的动态分析

变式3.如图3，△ABC、△EFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，则线段BM长的最小值和最大值分别是 和 ．

【解析】取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG＝∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．故答案是：2√3﹣2；2√3 2．

方法总结：一箭穿心模型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为圆或弧，利用点与圆的位置关系得到结果。

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