卡尔魏尔斯特拉斯（卡尔西奥多威廉）

出生 1815 年 10 月 31 日，威斯特伐利亚（今德国）奥斯滕费尔德

逝世 1897 年 2 月 19 日 德国柏林

卡尔·西奥多·威廉·魏尔斯特拉斯

Karl Weierstrass以其通过幂级数构建复函数理论而闻名。

Karl Weierstrass的父亲 Wilhelm Weierstrass 在 Karl 出生时担任 Ostenfelde 市长的秘书。Wilhelm Weierstrass 是一位受过良好教育的人，对艺术和科学有着广泛的了解。他当然有能力获得比他更高的职位，这种态度可能是卡尔·魏尔斯特拉斯早期职业生涯远低于他出色能力的原因之一。Weierstrass 的母亲是 Theodora Vonderforst，Karl 是 Theodora 和 Wilhelm 的四个孩子中的老大，他们都没有结婚。威廉·魏尔斯特拉斯 (Wilhelm Weierstrass) 在卡尔八岁时成为一名税务检查员。这份工作让他在任何一个地方都只待了很短的时间，所以随着全家在普鲁士四处走动，卡尔经常从学校搬到学校。卡尔的母亲西奥多拉去世，一年后他的父亲威廉再婚。到1829 年， Wilhelm Weierstrass 已成为帕德博恩主要税务局的助理，卡尔进入了那里的天主教体育馆。尽管不得不兼职簿记员以帮助家庭财务，但魏尔斯特拉斯在体育馆表现出色。而在体育馆，魏尔斯特拉斯的数学能力肯定远远超出了预期。他定期阅读Crelle的日记，并为他的一位兄弟提供数学辅导。然而，魏尔斯特拉斯的父亲希望他在1834 年从体育馆毕业后学习金融学。之后，他进入了波恩大学，并为他计划了一门课程，其中包括法律、金融和经济学的学习。以他父亲为他规划的普鲁士政府职业生涯，这确实是一门精心设计的课程。然而，魏尔斯特拉斯遭遇了要么服从父亲的意愿，要么学习他喜欢的学科，即数学的冲突。维尔斯特拉斯内部发生冲突的结果是，他既没有参加数学讲座，也没有参加他计划课程的讲座。他假装不关心自己的学习来应对内心的冲突，他花了四年时间进行密集的击剑和酗酒。正如 Biermann 在[ 1 ] 中所写：-

……职责和倾向之间的冲突导致身心紧张。他试图通过参加无忧无虑的学生生活来克服他的问题，但徒劳无功……

他确实自学过数学，不过，他阅读了拉普拉斯的《天体力学》 Ⓣ然后是Jacobi关于椭圆函数的工作。他通过学习古德曼的演讲稿，了解了椭圆函数理论的必要方法。在将近50年后写给Lie的一封信中，他解释了他是如何在这个时候不顾父亲的意愿而做出学习数学的明确决定的（参见[ 1 ]）：-

... when I became aware of [a letter from Abel to Legendre] in Crelle's Journal during my student years, [it] was of the utmost importance. The immediate derivation of the form of the representation of the function given by Abel ..., from the differential equation defining this function, was the first mathematical task I set myself; and its fortunate solution made me determined to devote myself wholly to mathematics; I made this decision in my seventh semester ...

Weierstrass 已经决定成为一名数学家，但他仍然应该学习公共财政和管理课程。做出决定后，他又在波恩大学度过了一个学期，他的第八个学期于1838 年结束，由于他没有参加考试就离开了大学，没有学习他所注册的科目。Weierstrass 的父亲对他的儿子放弃学业感到非常沮丧。他被一位家庭朋友、帕德博恩法院院长说服，允许卡尔在明斯特神学和哲学学院学习，这样他就可以参加必要的考试，成为一名中学教师。 1839年5月22日Weierstrass 就读于明斯特学院。古德曼在明斯特讲学，这也是魏尔斯特拉斯如此热衷于在那里学习的原因。Weierstrass 参加了Gudermann关于椭圆函数的讲座，这是关于这个主题的第一次讲座，Gudermann强烈鼓励 Weierstrass 进行数学研究。1839 年秋天离开明斯特，魏尔斯特拉斯为他在1840 年3 月注册的教师考试而学习。然而此时，维尔斯特拉斯的父亲又换了工作，于1840 年1 月成为一家盐厂的主管。，这家人现在住在帕德博恩以西利珀河附近利普施塔特附近的韦斯特科滕。应魏尔斯特拉斯的要求，他在1840年5 月收到的关于椭圆函数表示的论文中提出了一个问题，他提出了自己的重要研究作为答案。Gudermann评估了这篇论文并评价了 Weierstrass 的贡献：-

......与被加冕为荣耀的发现者同等地位。

在晚年，当魏尔斯特拉斯得知古德曼的评论时，他说如果他知道的话他会发表他的结果。魏尔斯特拉斯还评论了古德曼对他的赞美是多么慷慨，特别是因为他对古德曼的方法持高度批评态度。到1841年 4月，魏尔斯特拉斯参加了必要的口试，他开始在明斯特体育馆担任教师为期一年的试用期。虽然此时他没有发表任何数学论文，但他在1841 年和1842 年写了三篇短论文，在[ 3 ] 中有描述：-

The concepts on which Weierstrass based his theory of functions of a complex variable in later years after 1857 are found explicitly in his unpublished works written in Münster from 1841 through 1842, while still under the influence of Gudermann. The transformation of his conception of an analytic function from a differentiable function to a function expansible into a convergent power series was made during this early period of Weierstrass's mathematical activity.

Weierstrass于1842 年在西普鲁士（现为波兰）的Deutsch Krone 的 Pro-Gymnasium 开始了他的数学教师职业生涯，在那里他一直待到1848 年搬到 Braunsberg 的 Collegium Hoseanum 。作为数学老师，他还需要教授其他科目，而维尔斯特拉斯教授物理、植物学、地理、历史、德语、书法甚至体操。在晚年，魏尔斯特拉斯描述了这些悲惨岁月的“无休止的沉闷和无聊”，其中[ 1 ] :-

......他既没有数学讨论的同事，也没有数学图书馆，而且科学信件的交流是他负担不起的奢侈品。

从1850年左右开始，魏尔斯特拉斯开始出现非常严重的头晕，并在大约一个小时后以剧烈的疾病结束。12年左右的频繁发作，使他难以工作，人们认为这些问题很可能是由于他在学生时代遭受的心理冲突，以及每一次都投入到数学中的压力造成的。在从事繁重的教学工作时，他可以腾出一分钟的空闲时间。毫不奇怪，当 Weierstrass在 Braunsberg 学校的招股说明书中发表关于阿贝尔函数的论文时，他们没有被数学家注意到。然而，他在1854年出版了Zur Theorie der Abelschen Functionen Ⓣ在Crelle 的日记中，这当然被注意到了。这篇论文没有给出 Weierstrass 发展的超椭圆积分反演的完整理论，而是初步描述了他的方法，包括将阿贝尔函数表示为不断收敛的幂级数。有了这篇论文，魏尔斯特拉斯从默默无闻中脱颖而出。1854年3月31日，柯尼斯堡大学授予他名誉博士学位。在1855维尔斯特拉斯应用在布雷斯劳大学的椅子上留下的空缺时，库默尔搬到柏林。库默然而，试图影响事情，让魏尔斯特拉斯去柏林，而不是布雷斯劳，所以魏尔斯特拉斯没有被任命。狄利克雷于1855 年写给普鲁士文化部长的一封信强烈支持魏尔斯特拉斯获得大学任命。详细信息在[ 10 ]中给出。维尔斯特拉斯被提升为布劳恩斯堡的高级讲师后，获得了一年的休假，致力于高级数学研究。然而，他已经决定，他永远不会回到学校教书。Weierstrass 在他的下一篇论文Theorie der Abelschen Functionen 中 发表了他的超椭圆积分反演理论的完整版本Ⓣ1856 年在Crelle's Journal中。许多大学都为他提供了一个椅子。当奥地利的大学正在讨论这个前景时，柏林工业学院（后来的 Technische Hochschule ）提供了一个主席职位。虽然他更愿意去柏林大学，但魏尔斯特拉斯当然不想回到布劳恩斯贝格的何塞恩学院，所以他于1856 年6 月14日接受了研究所的邀请。 继续向魏尔斯特拉斯提出要约，以便他在1856 年9 月参加维也纳会议时他在他选择的任何奥地利大学都获得了一个席位。在他决定如何处理这个提议之前，柏林大学在 10 月份为他提供了教授职位。这是他一直想要的工作，他很快就接受了，尽管在今年早些时候接受了工业研究所的邀请后，他在几年内未能正式担任柏林大学教授。Weierstrass 在数学方面的成功讲座吸引了来自世界各地的学生。他的讲座主题包括：-傅里叶级数和积分在数学物理中的应用（1856 / 57），解析函数理论的介绍（他列出了他在1841 年但从未发表）、椭圆函数理论（他的主要研究课题）以及在几何和力学问题中的应用。在1859 / 60年的讲座中，魏尔斯特拉斯首次介绍了分析的基础。在1860 / 61 年，他讲授了积分学。我们在上面描述了 Weierstrass 从1850 年起遭受的健康问题。虽然他已经实现了他梦想的职位，但他的健康在1861年 12 月告吹当他彻底崩溃时。他花了大约一年的时间才恢复到可以再次讲课，而且他永远也无法完全恢复健康。从此他坐下讲课，一个学生为他在黑板上写字。他在1850 年遭受的攻击停止了，取而代之的是胸部问题。在他1863 / 64 年关于解析函数的一般理论的课程中，魏尔斯特拉斯开始阐述他的实数理论。在他1863 年的演讲中，他证明了复数是实数的唯一交换代数扩展。高斯在1831 年曾承诺要证明这一点，但未能给出证明。在1872年他强调严谨使他发现一个功能，虽然连续的，必须在任何时候任何衍生物。严重依赖直觉进行发现的分析人员对这种违反直觉的功能感到相当沮丧。黎曼在1861 年曾建议可以找到这样的函数，但他的例子在所有点上都是不可微的。Weierstrass 的讲座发展成为一门四学期的课程，他一直持续到1890 年。四门课程分别是

1. 解析函数理论导论，
2. 椭圆函数，
3. 阿贝尔函数，
4. 椭圆函数的变分或应用演算。

多年来，课程开发并出版了许多版本，例如Killing于1868 年所做的笔记和Hurwitz于1878 年所做的笔记。Weierstrass 的方法在今天仍然主导着教学分析，这从这些讲座的内容和风格，特别是导论课程中可以清楚地看出。它的内容是：数、采用魏尔斯特拉斯幂级数方法的函数概念、连续性和可微性、解析延拓、奇点、几个变量的解析函数，特别是魏尔斯特拉斯的“准备定理”和等高线积分。在柏林，魏尔斯特拉斯有两个同事库默和Kronecker和三人一起使柏林成为研究数学的领先大学。克罗内克多年来一直是魏尔斯特拉斯的密友，但在1877 年 克罗内克对康托尔工作的反对导致两人之间产生了裂痕。这变得非常糟糕，以至于在1885 年的某个阶段，魏尔斯特拉斯决定离开柏林前往瑞士。然而，他改变了主意，留在了柏林。大量学生从魏尔斯特拉斯的教学中受益。我们列举了一些在我们档案中其他地方提到的人：巴赫曼、博尔扎、康托尔、恩格尔、弗罗贝尼乌斯，盖根堡，亨泽尔，赫尔德，赫尔维茨，杀戮，克莱恩，Kneser，Königsberger，勒奇，李群，Lüroth，梅尔滕斯，闵可夫斯基，米塔格-莱弗勒，内托，肖特基，施瓦兹和斯托尔兹。然而，特别值得一提的是一位学生。在1870 柯瓦列夫斯卡娅来到柏林，魏尔斯特拉斯私下教她，因为她不被允许进入大学。显然，就魏尔斯特拉斯而言，她是一个非常特别的学生，因为他写信给她说：-

... 梦想并陶醉于我们有待解决的许多谜语，关于有限和无限空间，关于世界体系的稳定性，以及关于未来数学和物理学的所有其他主要问题。......你一直很亲近......在我的整个生命中......我从来没有找到任何人可以像你一样让我对科学的最高目标有如此了解，并与我的意图和基本原则如此愉快地一致。

正是通过魏尔斯特拉斯的努力，科瓦列夫斯卡娅获得了哥廷根大学的荣誉博士学位，他还利用自己的影响力帮助她于1883 年在斯德哥尔摩获得了这个职位。魏尔斯特拉斯和科瓦列夫斯卡娅在1871 年至1890年间通信了20年。交换了160 多封信件（见[ 5 ]、[ 7 ]等），但魏尔斯特拉斯在科瓦列夫斯卡娅死后烧毁了她的信件。 Weierstrass 设定的严格标准，例如，定义，无理数作为收敛级数的极限，强烈影响了数学的未来。他还研究了全函数、一致收敛的概念和无穷积定义的函数。他的努力在[ 2 ]中总结如下：-

被称为现代分析之父的魏尔斯特拉斯设计了级数收敛性检验，并为周期函数、实变量函数、椭圆函数、阿贝尔函数、收敛无穷积和变分演算等理论做出了贡献。他还提出了双线性和二次形式的理论。

Weierstrass 发表的很少[ 1 ] :-

……因为他的批判意识总是迫使他将任何分析建立在坚实的基础上，从新的方法开始，不断地修改和扩展。

然而，他确实编辑了施泰纳和雅各比的全集。他决定监督自己全集的出版，在他的情况下，这将涉及他的讲座课程中大量未发表的材料，而维尔斯特拉斯意识到，如果没有他的帮助，这将是一项艰巨的任务。前两卷分别于1894 年和1895 年出版，是他1897 年去世前唯一出版的。他的最后几年很艰难[ 1 ] :-

在他最后的三年里，他被限制在轮椅上，不能动弹，不能自理。他死于肺炎。

他的全集的剩余卷出现缓慢；体积3在1903年，卷4在1902，卷5和6在1915年，和体积7在1927年。7 卷在1967 年再版。今天继续出版更多的作品，特别是他的讲座课程的版本，这些版本取自参加讲座的人所做的笔记。

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