三角形中有几条平分线和中线（数学三角形的高）

题记

人工智能，中国不可能发展很快。人工智能需要大量的数学家，需要大量高超级的计算器，是超级能力的链接、超级的程序器。这些地方来说，中国还是一个科技上在起步的国家。

--华为创始人 任正非

大家好！我是小刘同学！

今天分享的三道题，是对前一篇发文的继续，深化加强对知识点的学习。

第一题

请看题：等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成13.5和11.5两部分，求这个等腰三角形各边的长。

大家看到这道题，是否似曾相识呢？

没错。它与小刘同学之前发文《数学：三角形的中线》里的那道题属于同一题型，我们可以将两道题进行对比学习。这道题是以文字叙述的形式给出的，没有图形，也没有字母。因此，可以先根据文字叙述画出图形，标注字母，利用图形更好地理解题意。由于腰和底边不相等造成的中线把三角形的周长分成不相等的两部分，因此既要考虑到腰比底边长，又要考虑到底边比腰长。

通过对比，我们发现能依据分类时的着眼点不同，采取不同的解题思路：前一题着眼在依据中线所划分出的周长不同，此一题我们则可以着眼在依据“腰和底边不相等”这个条件，划分为“腰比底边长”和“底边比腰长”两种情况。当然，无论在两种解题思路中采取哪一个，我们都可以解这两道题中的任意一道。如下：

①那我们先尝试直接套用前一题的解题思路，依据中线所划分出的周长不同进行分类。

我们的解答过程是：如图，设AB为X，即AB=AC=X，则AD=CD=½X，从而可以列出方程。

情况一，若AB AD=13.5,则X ½X=13.5，解得X=9，即AB=AC=9，则CD=½×9=4.5，故BC=11.5-4.5=7。此时AB AC>BC，三角形存在，所以三边长分别为9,9，7。

情况二，若AB AD=11.5，则X ½X=11.5，解得X=23/3，即AB=AC=23/3，则CD=½×23/3=23/6，故BC=13.5-23/6=81/6-23/6=58/6=29/3。此时AB AC>BC，三角形存在，所以三边长分别为23/3,23/3，29/3。

综上所述，该等腰三角形各边的长分别为9,9，7或23/3,23/3，29/3。

②接下来，我们再使用新的解题思路，依据“腰和底边不相等”这个条件所划分出的两种情况进行分类，能够证实最后的结果都是一样的。

我们的解答过程是：如图，设在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线。

依题意，当AB>BC时，AB-BC=13.5-11.5=2，则AB=BC 2。所以△ABC全部的周长即为AB AC BC=（AB AC） BC=2AB BC=2(BC 2) BC=13.5 11.5，解得BC=7，则AB=AC=BC 2=7 2=9。

而当AB<BC时，同样的，BC-AB=13.5-11.5=2,则BC=AB 2。所以△ABC全部的周长即为AB AC BC=（AB AC） BC=2AB BC=2AB AB 2=13.5 11.5，解得AB=23/3，则AC=23/3，BC=AB 2=23/3 2=23/3 6/3=29/3。

综上所述，该等腰三角形各边的长分别为9,9，7或23/3,23/3，29/3。

第二题

请看题：如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的面积为6，且BD边上的高AE为3，求BC的长。

这道题，我们同样存在两种解题思路：

①从线的角度

我们的解答过程是：因为已知若△ABD的面积为6，且BD边上的高AE为3，运用三角形面积公式S=½ah（面积=底×高÷2，其中a是三角形的底，h是底所对应的高）可得：BD=6×2÷3=4。又因为已知AD是△ABC的边BC上的中线，所以根据三角形的中线定义可知CD=BD=4,那么答案就是BC=CD BD=4 4=8。

②从面的角度

我们的解答过程是：因为已知AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6，而我们知道三角形的中线平分面积，所以整个△ABC的面积为12。又因为已知BD边上的高AE为3，运用三角形面积公式S=½ah（面积=底×高÷2，其中a是三角形的底，h是底所对应的高）即可得：BC=12×2÷3=8。

第三题

请看题：如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O。

（1）证明DO是∠EDF的平分线。

（2）证明将“DO是∠EDF的平分线”与“AD是∠CAB的平分线”“DE∥AB”“DF∥AC”三个条件中的任一条件转换，所得说法都正确。

（1）

我们的证明过程是：如图所示，在△ABC中，

因为已知AD是∠CAB的平分线，我们根据三角形的角平分线定义，可知∠EAD=∠FAD。

又因为已知DE∥AB，DF∥AC，我们根据“两直线平行，内错角相等”的规律判定∠EDA=∠FAD,∠FDA=∠EAD，所以等量代换可知∠EDA=∠FDA。这样，又符合了三角形的角平分线定义，则DO是∠EDF的平分线。

（2）

我们的证明过程是：首先将这一共的四个条件编号，将“DO是∠EDF的平分线”编为①；继而将“AD是∠CAB的平分线”编为②，“DE∥AB”编为③，“DF∥AC”编为④。

证明一 用②交换①

这里其实和第一问的证明过程类似，因为已知DO是∠EDF的平分线，我们根据三角形的角平分线定义，可知∠EDA=∠FDA。

又因为已知DE∥AB，DF∥AC，我们根据“两直线平行，内错角相等”的规律判定∠FAD=∠EDA,∠EAD=∠FDA，所以等量代换可知∠FAD=∠EAD。这样，又符合了三角形的角平分线定义，则AD是∠CAB的平分线。

证明二 用③交换①

因为已知AD是∠CAB的平分线，且DO是∠EDF的平分线，我们根据三角形的角平分线定义，可知∠EAD=∠FAD，且∠EDA=∠FDA。

又因为已知DF∥AC，我们根据“两直线平行，内错角相等”的规律判定∠EAD=∠FDA，所以等量代换可知∠FAD=∠EDA。我们再根据“内错角相等，两直线平行”的规律可判定DE∥AB。

证明三 用④交换①

这里是与证明二的证明过程类似，因为已知AD是∠CAB的平分线，且DO是∠EDF的平分线，我们根据三角形的角平分线定义，可知∠EAD=∠FAD，且∠EDA=∠FDA。

又因为已知DE∥AB，我们根据“两直线平行，内错角相等”的规律判定∠FAD=∠EDA，所以等量代换可知∠EAD=∠FDA。我们再根据“内错角相等，两直线平行”的规律可判定DF∥AC。

综上所述，可以证明题目说法正确。

谢谢大家，下回再见！

,