二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(1)

在三角函数的学习过程中,我们不仅要熟记一些常见的三角公式,而且要熟悉其变化形式,尤其是常用公式的变形公式。下面通过对二倍角的正余弦公式的变形使用,加以说明。

变形一

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例1、求

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(3)

的值。

解析:原式

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(4)

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(5)

说明:本题中利用变形公式

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,使得问题得以巧解,简洁明快。另本题也可进行倍角变换,有如下解法:

原式

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(7)

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(8)

变形二

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二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(10)

以及

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例2、求证:

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证明:左边

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二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(14)

例3、已知

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(15)

,求

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(16)

的值。

解析:

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二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(18)

所以

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二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(20)

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(21)

因为

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(22)

所以

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(23)

所以

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(24)

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(25)

所以

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(26)

所以

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(27)

说明:本题通过利用升幂公式:

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(28)

,使得已知条件得以因式分解,进而使问题获解。

变形三:根据诱导公式,有

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二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(30)

,于是有二倍角公式的如下变形

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(31)

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(32)

例4、已知

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的值。

解析:因为

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所以

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(35)

所以

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(36)

例5、已知

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(37)

,求

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(38)

的值。

解析:

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(39)

所以

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因为

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(41)

,所以

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(42)

所以

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变形四:对于正切二倍角公式:

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,通常也有如下变形:

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二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(46)

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(47)

等等

例6、证明:万能公式:(1)

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证明:由二倍角公式:

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,得

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,于是:欲证公式

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成立,即证明公式

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成立。(注:这里应注意

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为欲证的另一公式

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(54)

!)

将上述公式的右边切化弦:

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二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(56)

=左边,命题得证。

说明:在这个公式的证明过程中,我们还得到了另一个非常重要的副产品,即

二倍角余弦正切公式推导(高中数学正余二倍角公式的变式及其应用)(57)

,真所谓“一石二鸟”之举!

--END--

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,

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