六年级奥数旋转求阴影部分面积（如何使用对称添补法）

如图，正方形ABCD的面积是36cm²，求阴影部分面积（π = 3.14）

图1

观察图形，是不是发现阴影太零散了，怎么都是不规则的呢。其实用以前讲过的方法是可以依次求出每一块阴影部分的面积的，然后再将所有阴影相加，最终是可以求出阴影部分面积的。

可是那个方法太繁琐，需要多很多的计算，通常见到这种我们就需要考虑了，这些阴影部分能否通过一些方法可以合到一起呢。

我们将对应的部分标注一下，如图2

图2

观察图形，可以发现，正方形ABCD和它的内切圆相交，产生a、b、c、d四个部分，其中a、c是阴影部分

正方形和它的外接圆相交形成1、2、3、4、5、6、7、8 八个部分，1、2、5、6 是阴影部分

因为正方形和圆都是对称图形，所以可以看出：a和b，d和e，6和3，5和4 分别关于直线EF对称

所以，将a补给b，6补给3，5补给4，就可以得出如下图3

图3

这样是不是就很容易看出如何求阴影部分面积了。

这是半个圆环，1/2的大圆面积减去1/2的小圆面积就是这个圆环的面积

设大圆半径为R，小圆半径为r，连接AC，BO，如图4

图4

正方形ABCD面积 = 2*1/2*AC*BO

= 2*1/2*2R*R

= 36cm²

所以 R² = 18cm²

正方形ABCD面积 = AB*AD = 2r*2r = 4r² = 36

所以 r² = 9

阴影部分面积 = 1/2*(πR² - πr²)

= 1/2*π*(18 - 9)

= 14.13cm²

所以，阴影部分面积为14.13cm²