奥数平均数问题练习题(小学奥数的平均数题目)

这是一道三年级同学的家长发来求助的题目:

某次数学竞赛原定一等奖10人,二等奖20人,现在将一等奖最后4人调整为二等奖,这样得二等奖学生的平均分提高了1分,得一等奖的学生的平均分提高了2分,那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分?

看到题目,我也是倒吸一口冷气。现在小学三年级的奥数题就难成这样了?记得我上三年级的时候,这种题目的,见都没见过。

奥数平均数问题练习题(小学奥数的平均数题目)(1)

家长也表示,小孩被这道题虐惨了,老师讲的解法就是理解不了,甚至有点伤到学数学的兴趣了。

讲题目之前,我们先来讲讲平均数的一个有意思的性质。所以平均,就是“损有余而补不足”,用浙江的土话来讲,叫“扯扯平”。所以:

比平均数多的一定等于比平均数少的

举个例子。

比如,有四个数11、12、14、15。它们的平均数等于13。比13大的数有14、15,分别比13大1和2,一共大3;比13小的数是11、12,分别是13小2和1,一共小3。大的等于小的。

这个例子,数学课本上用图画表示了出来(人教版四年级下册第91页)。

奥数平均数问题练习题(小学奥数的平均数题目)(2)

可惜的是,课本上没有再进一步,详细讲讲。

这个性质什么用呢?我们看道例题:

小强在期末考试时,数学成绩公布以前,语文、英语的平均成绩是93分,数学成绩公布以后,他的平均成绩又提高了2分,小强数学考了多少分?

语文、英语的平均成绩比三科平均少了2分,相当于语文、英语各少了2分,一共少了4分。这4分,一定是数学补给它们的。

注意,数学多的这4分,是比三科平均数多的,这样才有多余的补给其他两科啊。三科的平均成绩是93 2=95,所以数学得分95 4=99。

奥数平均数问题练习题(小学奥数的平均数题目)(3)

有的同学也许觉得,我可以算出三科的总分,再减去语文、英语的总分,不就一样可以算出答案吗?

那么再来看下面这题:

小强只知道自己期末考试语文、英语的平均成绩,数学成绩公布以后,他的平均成绩又提高了2分,小强数学成绩比其他两科的平均成绩高了多少分?

这样的题目,就不能用总分来算了,只能用上面的方法,算得数学成绩比其他两科的平均分高了6分。

这种方法,可以摆脱平均数的绝对数值,只用知道各个数和平均数的相对关系。小学奥数里95%关于平均数的难题,都可以用这样的方法来做。

我们再用两道题目来熟悉下:

有两组数,第一组数有6个,第二组数有4个,第一组的平均数比两组合并后的平均数大2,那么两组合并后的平均数比第二组的平均数大多少?

第一组平均数比合并后大2,总共多了2×6=12,也就是第二组少了12,平均每个数比合并后的平均数小了12÷4=3。

奥数平均数问题练习题(小学奥数的平均数题目)(4)

有两组数,第一组数有4个,第二组数有20个,第二组的平均数比两组合并后的平均数小1,那么第一组的平均数比第二组的平均数大多少?

第二组平均数要比合并后小1,总共少了1×20=20,也就是第一组多了20,平均每个数大了20÷4=5。那么第一组平均数比第二组平均数高了5 1=6

奥数平均数问题练习题(小学奥数的平均数题目)(5)

现在我们把两道题合并起来:

有三组数,第一组数有6个,第二组数有4个,第三组有20个。如果把第一组和第二组合并,第一组的平均数比两组合并后的平均数大2。如果把第二组和第三组合并,第三组的平均数比两组合并后的平均数小1。问:第一、二组合并后的平均数比第三组大多少?

你们仔细看,这道题目,和最上面那道一等奖二等奖的题目,不是一样的么。答案就是3 6=9分。

当然,数学竞赛中的真题,比这道题可能还要难上一些。常见的做法,是不告诉你具体的数量,只告诉你数量的比例,比如3:2,这样的难度又要大一些。

比如这道,09年希望杯决赛的压轴大题,大家可以试一下:

将和为45的9个数分成A和B两组,如果将A组中的数4移到B组中,则A和B两组数的平均数都比原来大0.25.求A组中原来有多少个数。

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