中考数学圆公式定理（中考数学有关圆的证明与计算题型解析）

有关圆的证明与计算涉及到的主要知识点有圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、

特殊四边形的判定与性质、特殊三角形的性质、全等与相似三角形的判定与性质等．

本节主要对其相应的题型总结归纳如下：

类型一、切线的性质

【例题1】如图，已知 AB 是⊙O 的直径，P 是 AB 延长线上一点，PC 与 ⊙O 相切于点 C，

过点 C 作 CE⊥AB，交⊙O 于点 E，垂足为点 D.

(1) 求证：∠PCB＝∠BAC；

(2) 过点 B 作 BM∥PC 交 ⊙O 于点 M，交 CD 于点 N，连接 AM .

① 求证：CN＝BN；

② 若 cos P = 4/5 , CN = 5 , 求 AM 的长 .

例题1图

【参考答案】

(1) 证明：如解图1 所示，连接 OC，交 BM 于点 F .

解图1

∵ PC 是⊙O 的切线，

∴ OC⊥PC .

∴ ∠PCO＝90°.

∴ ∠PCB＋∠BCO＝90°.

∵ AB是⊙O的直径，

∴ ∠ACB＝90°.

∴ ∠ACO＋∠BCO＝90°.

∴ ∠PCB＝∠ACO.

∵ OC＝OA，

∴ ∠ACO＝∠BAC.

∴ ∠PCB＝∠BAC.

(2)

例题1图

① 证明：

∵ BM∥PC，

∴ ∠CBM＝∠PCB.

∵ CE⊥AB，

∴ ︵BC＝︵BE .

∴ ∠BAC＝∠BCE.

∵ ∠PCB＝∠BAC，

∴ ∠BCE＝∠PCB＝∠CBM.

∴ CN＝BN.

② 解：

例题1图

∵ BM∥PC，

∴ ∠MBA＝∠P.

∴ cos ∠MBA＝cos P＝4/5 .

在 Rt △BDN 中，

cos ∠MBA＝BD / BN＝4/5，BN＝CN＝5，

∴ BD＝4.

∴ CD＝CN＋ND＝8.

在 Rt △OCD 中，设 OC＝r，

则 OD＝OB－BD＝r－4.

由勾股定理，得 OC2＝OD2＋CD2，

即 r2＝(r－4)2＋8^2 .

解得 r＝10.

∴ AB＝2r＝20.

∵ AB 是直径，

∴ ∠AMB＝90°.

在 Rt △ABM 中，cos ∠MBA＝BM / AB ＝4 / 5，AB＝20，

∴ BM＝16 .

类型二、切线的判定与性质综合——双切线模型

【例题2】如图，PB 与 ⊙O 相切于点 B，过点 B 作 OP 的垂线 BA，垂足为点 C，交 ⊙O 于点 A，

连接 PA，AO，AO 的延长线交 ⊙O 于点 E，与 PB 的延长线交于点 D.

(1) 求证：PA 是 ⊙O 的切线；

(2) 若 tan ∠BAD＝2 / 3，且 OC＝4，求 BD 的长．

例题2图

【参考答案】

解：

(1) 如解图 1 所示，连接 OB，则 OA＝OB .

解图1

∵ OP⊥AB，

∴ AC＝BC.

∴ OP 是 AB 的垂直平分线．

∴ PA＝PB.

在 △PAO 和 △PBO 中，

∴ △PAO ≌ △PBO ( SSS )．

∴ ∠PAO＝∠PBO.

∵ PB为⊙O的切线，B 为切点，

∴ ∠PBO＝90°.

∴ ∠PAO＝90°，即 PA⊥OA .

∴ PA 是 ⊙O 的切线．

(2) 如解图 2 所示，连接 BE .

解图2

在 Rt △AOC 中，

tan ∠BAD＝tan ∠CAO＝OC / AC＝2 / 3，且 OC＝4，

∴ AC＝ BC = 6 .

∵ PA⊥OA，OP⊥AB，

∴ ∠PAC＋∠OAC＝90°.

∴ ∠ACP＝∠OCA＝90°，∠PAC＋∠APC＝90°.

∴ ∠APC＝∠OAC .

∴ △PAC∽△AOC.

∴ PC / AC＝AC / OC，即 PC / 6 ＝ 6 / 4 .

解得 PC＝9 .

∴ OP＝PC＋OC＝13 .

解图2

在 Rt △PCB 中，由勾股定理得，

∵ AC＝BC，OA＝OE，

∴ OC 为 △ABE 的中位线．

∴ BE＝2OC＝8，OC∥BE

.∴ △DBE∽△DPO .

∴ BD / PD = BE / PO ,

类型三、切线的判定与性质综合——切割线模型

【例题3】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AC 上一点，

过 B，C，D 三点的 ⊙O 交 AB 于点 E，连接 ED，EC，点 F 是线段 AE 上的一点，连接 FD，

其中 ∠FDE＝∠DCE .

(1) 求证：DF 是 ⊙O 的切线；

(2) 若 D 是 AC 的中点， ∠A＝30°，BC＝4，求 DF 的长．

例题3图

【参考答案】

(1) 证明：如解图 1 所示，连接 BD.

解图1

∵ ∠ACB＝90°，点 B，D 在⊙O上，

∴ BD 是 ⊙O 的直径．

又 ∵ ∠BDE＝∠BCE，∠FDE＝∠DCE，

∴ ∠BDE＋∠FDE＝∠BCE＋∠DCE，即 ∠BDF＝∠ACB＝ 90° .

∴ DF⊥BD .

又∵ BD 是 ⊙O 的直径，

∴ DF 是 ⊙O 的切线．

(2) 解：

解图1

∵ ∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，

∴ AB＝2BC＝8.

∵ 点 D 是 AC 的中点，

∴ AD＝CD＝1/2 AC＝2√3 .

∵ BD 是 ⊙O 的直径，

∴ ∠DEB＝90°.

∴ ∠DEA＝180°－∠DEB＝90°.

∴ DE＝1/2 AD＝1/2 × 2√3＝√3 . （∠A = 30°）

解图1

在 Rt △BCD 中，

在 Rt △BED 中，

∵ ∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，

∴ ∠FDE＝∠DBE.

∵ ∠DEF＝∠BED＝90°，

∴ △FDE∽△DBE .

∴ DF / BD = DE / BE , 即 DF / 2√7 = √3 / 5 ,

∴ DF＝2√21 / 5 .

类型四、三切线模型

【例题4】如图，AB 是 ⊙O 的直径，AB⊥BD，AC 与 ⊙O 相切于点 A，点 E 为 ⊙O 上一点，

且 AC＝CE，连接 CE 并延长交 BD 于点 D.

(1) 求证：CD 为 ⊙O 的切线；

(2) 连接 AD，BE 交于点 F，⊙O 的半径为 2，当点 F 为 AD 中点时，求 BD 的长．

例题4图

【参考答案】

(1) 证明：如解图 1，连接 OC，OE .

解图1

∵ AB 是 ⊙O 的直径，AC 与 ⊙O 相切于点 A，

∴ ∠OAC＝90°.

在 △ACO 和 △ECO 中，

∴ △ACO ≌ △ECO ( SSS )．

∴ ∠OEC＝∠OAC＝90°.

∴ OE⊥DC.

∴ CD 为 ⊙O 的切线．

(2) 解：如解图 2 所示，连接 OF，AE，过点 F 作 FG⊥BD 于点 G .

解图2

∵ AB⊥BD，

∴ ∠ABD＝∠FGD＝∠FGB＝90°.

∴ FG∥AB .

∴ ∠ABF＝∠BFG.

∵ AB 是 ⊙O 的直径，

∴ ∠AEB＝∠FGB＝90°.

∴ △ABE∽△BFG .

∴ AB / BF ＝BE / FG .

解图2

∵ 点 F 为 AD 中点，O 为 AB 中点，

∴ OF∥BG .

易证四边形 OFGB 是矩形．

∴ FG＝OB＝2.

∵ AB 是 ⊙O 的直径，AB⊥BD，

∴ BD 是 ⊙O 的切线．

由 (1) 知 CD 是 ⊙O 的切线，

∴ DB＝DE.

∴ ∠DEB＝∠DBE.

∵ ∠ABD＝90°，点 F 为 AD 中点，

∴ BF＝FD.

∴ ∠DBE＝∠FDB.

∴ ∠FDB＝∠DEB.

解图2

又 ∵ ∠FBD＝∠DBE，

∴ △FBD∽△DBE .

∴ BF / BD＝BD / BE .

∴ BD2＝BF·BE.

设 BF＝a，BD＝n.

∵ △ABE∽△BFG，

∴ AB / BF = BE / FG ,

∴ 4 / a = BE / 2 ,

∴ BE = 8 / a ,

∵ BD2＝BF·BE，

∴ n2＝a · 8 / a .

∴ n2＝8 .

∴ n＝2√2 ( 负值舍去 )．

∴ BD 的长为 2√2 .

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