一道令人深思的数学题（一道数学题引发的思考）

在头条上看到一个数学题(一家长辅导孩子做题，发到头条上)：

题目：如图所示，在△ABC中，∠A=30°，∠CDB=45°，点D是AC的中点，求∠C的度数？

这道题不是很难，但也不简单，我下面给出三种解答：

方法一:如图,过点C作CE⊥AB,垂足E在AB上,连接DE.因为∠A=30°,CE⊥AB,点D为AC中点, 易知△CDE为等边三角形,所以∠CDE=∠DCE=60°, 因为∠BDC=45°, 所以∠BDE=60°-45°=15°,又 ∠ABD=∠BDC-∠BAC=45°-30°=15° =∠BDE, 所以△BDE是等腰三角形, 则CE=DE=BE, 则△BCE是等腰直角三角形, 有∠BCE=45°, 所以∠C=∠BCE ∠DCE=45 60°=105°.

方法二:如图，过点B作BE垂直于AC延长线于E。因为BE⊥DE,∠BDE=45°,所以BE=DE.设CE=y,AD=CD=x.Rt△ABE中:

所以x=(√3 1)y ,则:

所以∠BCE=75°,所以∠C=180°-∠BCE=105°.

方法三(不做辅助线):如图，设AD=CD=x,设∠CBD=α,∠ABC=θ.由题易知∠BDE=15°,所以θ=α 15°.△BCD中由正弦定理有:

△ABC中由正弦定理有:

两式相除得: sinθ=√2sinα,所以sin(α 15°)=√2sinα,正弦和角公式展开可得cosα=√3sinα,所以tanα=√3/3,所以∠CBD=α=30°,所以∠C=180°-30°-45°=105°.

所以有很多方法可以正确解出答案。头条上评论区一楼首先按方法一给出了正确答案，但是后面的评论可谓是群魔乱舞。因为一楼的答案是105°,巧合的是180°减去题中给的两个角也等于105°,所以有一堆人说他做繁了(颇有事后诸葛亮的感觉):

感情是直接用内角和定理就搞定了啊，也不看45°是标在哪里的，另外灵魂条件“D是AC的中点” 都没用上啊，这是一厢情愿把题读成了自己想要的模样。

还有一些人的错误显得要高级些，不过逻辑有问题：

图中有两个三角形确实相似(△BCD∽△ACB, 站在上帝视角,在知道答案后能看出它们是相似的)。但他们却说能用“两边夹一角”(两边对应成比例且夹角相等)判定出相似，确实两三角形∠C是公共角，但由题目已知条件却得不出两边对应成比例，已知条件除了两个角就是一个中点条件，是判定不出这两三角形相似的。真实情况就是在用其他方法得出∠ABC角度(45°)之前并不能证明相似，那相似并没对最后求∠C角度起作用，这便是逻辑有问题。

更有甚者说直接用量角器：

这方法才是可怕的，做数学题只要答案，不管数学思维了，典型的实用主义思想，这样会在学数学的道路上彻底走偏。

还是一个评论一语道破：

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我把上述案例提出来，并不是说这个题大家都应该要会做。我是在思考“数学带给了我们什么”，“数学题带给了我们什么”。数学的“美”体现在它的逻辑自洽上，体现在它的推理论证上，这种美我们是需要在学数学的过程中去体会的。当我们用正确方法成功解答出一道比较难的数学题时，我们往往会有成就感，这种成就感就是在“沐浴”数学的“逻辑美”。

数学的逻辑自洽我们怎么感受？直观的做法是做数学题时我们要“讲道理”，至少我们要能自圆其说。我们做题每一步都要“有理可据”。比如上面第一种错误说直接用内角和定理，而题目条件中那个30°和45°根本不是同一个三角形的内角，所以这种方法自己就“不攻自破”(自己都无法往下解释)了。

很多学生会说我又不够聪明，我怎么知道自己的“道理”是不是对的呢，我做错是因为我以为是对的。这样说的人，先问问自己“公式定理熟悉了吗”，“解题的步骤是否违背了公式定理”，如果我们做题的每一步都有正确的依据，就不会给自己找上面的借口了。不会做题不等于要乱做题。若“今天”的你不会做题，不应该选择乱做题，应该选择“明天”正确做题。那今天做什么?今天就把这个题正确解答所需要的公式、定理、方法先学会，用心下功夫去做，“明天”的你一定会“腾飞”。

学数学我们得做好总结。典型的数学题目值得我们深思回味，理解其中的逻辑路线，理解其中的方法渗透。若我们不能对同类型题目总结出普遍的方法套路，下次遇到这类题我们就会惊慌失措，还会对出题人骂骂咧咧，题目解不好还很心累。而且会陷入无尽的做题烦恼中，感觉每个题都是对自己的折磨，再强大的意志都被自己磨没了，学习越来越消极，最终觉得自己不适合学数学。相反，若做好了总结，你会觉得每个题只是已有方法的再次练习而已，你的心境会越来越好，并形成正反馈，用学习成果激励自己不断前行。

学数学我们也不能有实用主义的思想，不能只以答案为导向(像上面的用量角器)，要知道在数学中思想高于方法，方法高于答案。这也是科学精神的体现，科学是注重逻辑推理论证的，它并不像哲学。哲学一来就要有一个终极的结果，像探索世界的本源一样。数学中重要的是要理好逻辑链条的每一环，若步步都没问题，那最后的结果自然是好的。实用主义能带来技术，但不能带来创造。像我国古代有发达的手工业，很多发明却止于实用，并不推究背后的原理。例如杠杆原理早就得到了实用（舂米等）,却没有总结出原理。再比如，一个人发明了一个机器设备，这个设备安在窗户上能自动感应，下雨了自动关闭窗户，这很实用，但显然这种发明不能获得“诺贝尔奖”，它只能获得"我爱发明奖”。

“为什么登山，因为山在那里”这是出自英国著名登山家乔治.马洛里的一句话。

这句话也是数学中最可贵的品质的体现，缺乏为了科学而科学的精神，我们往往不能走向纯粹的数学。很多人会说又不是人人都是数学家，学数学不需要都有这么高的立意。诚然我们不能人人都成为数学家，但为真理而“较真”的品质是可以具有的。真理并不拒绝科学家之外的人追求她。我们需要在科学精神的框架下修炼自己感悟数学逻辑自洽的能力。这种能力往往体现在做数学题时的审题分析及找数量关系上。当然我们还得具有足够的运算能力解出数量关系，题目才能顺利解答。从数学思维的角度说，找数量关系是大于解数量关系的。即使我们不能成为数学家，但是把自己当数学家想的学生，成绩一定差不了。

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