标准曲线的绘制及计算（正弦曲线的可视化直观解释）

翻译小组成员介绍: Alex

Alex，英语爱好者，现工作于洛阳

文章: betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-sine-waves/

译者: Alex 校对: 向海飞

正弦波的直观解释 Intuitive Understanding of Sine Waves

正弦波(正弦曲线)曾使我迷惑不解。我可以一边念叨“正弦，余弦，正切”，一边画着三角形，但它意义何在？

我一直误认为正弦源于其他形状。设想场景：

• 你：几何讲的是形状、线条之类...
• Alien:哦？老师能举一个线条的例子吗？
• 你（左顾右盼）：嗯……看到那块砖头了吗？线条就是砖头的一条边。
• Alien：所以，线条是形体的一部分。是吗？
• 你：差不多可以这么理解。大多数图形中包含线条。但线条本身是一个基本概念。比如一束光，地图上的一条路径，甚至...
• Alien：砖头包含线条，线条来自砖头。砖头、砖头、砖头。

数学课几乎就是这个样子。“圆包含正弦，正弦来自圆。圆，圆，圆。”

哎呀！不对！圆只不过是正弦的一个例子。一句话：正弦是一种自然摆动，象征着平滑，它使得圆很“圆”，如同直线使得正方形很“方”。

让我们正确看待正弦形状本身以建立直觉，然后弄清楚这家伙和圆形等的关系！开始啦！

正弦和线条 Sine vs Lines

概念和例子是有区别的：线条是一个基本的概念，而正方形只它的一个例子。同理，正弦也是一个基本概念，并非圆的一部分。是不是开始柳暗花明。

我们通过下面的程序观察正弦。注意观察：

• 首先请点击开始键。好了，程序开始运行了！看到黄色小球正平稳地来回运动吗？那就是正弦！它是一种自然的摆动，如同弹簧的弹跳，钟摆的摆动，琴弦的振动...自然界中很多物体都可以做这种运动。
• 现在请将“垂直”选项设置为“线性”。是不是变化很大 - 运动变得固定和机械，如同一场乒乓球比赛？

通过我们能看得更清

• 线性运动是恒速的：以固定的速度运动，到边界后立即转身。机器人舞蹈就是这种不自然的线性运动
• 正弦运动是变速的：开始快，慢慢减速直至停止，然后又开始加速。液体波动就是这种迷人的平稳运动

遗憾的是，教科书并不用动画或者舞蹈来阐述正弦波，更喜欢把正弦波画在时间轴上（请将“水平”选项设置为“时间轴”）。

惊讶吧，这就是我们经常看到的正弦波示意图。从这张图里你能找到正弦运动的感觉吗？反正我是找不到。还是先观察正弦运动，然后记录它的运动轨迹吧。

绕不开的圆 The Unavoidable Circle

圆的确包含正弦，但是要从圆里看出正弦来，其难度不亚于从煎蛋饼里挑出鸡蛋。全混在一块儿啦！

不着急，慢慢来。我们回到上面的程序。重新设置为：

Vertical(垂直):none，

Horizontal(水平):sine*。

看黄色小球是不是开始水平摆动？那就是正弦运动。只不过我们做了些微调：正常情况下，正弦从中间点开始运动，迅速移动至最大点，然后返回中间点，周而复始。这次，黄色小球是从最大点开始，然后返回中间点。我们称从最大点开始的正弦为余弦。其实余弦只是正弦的一个不同版本（如同水平线是垂直线的不同版本。大家都是直线，只是方向不同罢了）。

万事俱备。是时候让两个正弦波同时动起来了：请将程序设置为：

vertical:sine，

horizontal:sine*...

见证奇迹的时刻到了，我们居然得到了一个圆！

水平向和垂直向的正弦运动组合得到圆周运动，多神奇！但是教科书从不这么解释。它们总是先画一个圆，然后试图从中分解出正弦。但是相对于“分解”，我更喜欢“组合”：先画水平正弦和垂直正弦，然后组合得到圆。

快速问答 Quick Q & A

我初学正弦时可没有这些认识：

正弦是1维的

正弦波在1个维度摆动。现实中，我们常常把正弦波画在时间轴上，而且正弦运动的物体有时确实是在向前移动的。这给我们造成了一个假象：正弦运动是2维的。但并非如此！在1个维度弹跳的弹簧做得就是完美的正弦运动。

1维正弦运动

来自Wikipedia, 不要被催眠了

两个正弦波组合成圆

圆和正方形均是基本单元（正弦和线条）的组合。圆由1个水平向和1个垂直向的1维正弦波关联组合而成。

但是圆并不是正弦波的源，同样正方形也不是线条的源。它们仅仅是例子。

▌正弦值的意义是什么？

正弦值位于-1和1之间。它开始于0，逐渐增大至1.0（最大值），然后减小至-1.0（最小值），最后返回到0。如果把正弦值看成一个百分数，那么正弦运动就如同急行军，从0开始加速到100%（全速前进）后来又从-100%（全线撤退）回到0。

▌正弦sin(x)的输入x指的又是什么？

虽然有些费解，但是也可以弄清楚。sin(x)是一个无限循环，而输入x就是我们在这个循环里的位置。

还是先看看直线吧：

• 假设，你沿着一个在正方形的边行走，走完每条边需要10秒钟。
• 1秒后，你走完一条边的10%
• 5秒后，你走完那条边的50%
• 10秒后，你走完整条边

线性运动就是这样平淡无奇。现在看看正弦（注意“0到最大值”这个区间）：

▌正弦波的递增区间

• 这次，我们沿着正弦波行走，从0（中间值）走到1.0（最大值）。此过程需时10秒。
• 5秒后，我们走完行程的70%！正弦运动在起始点的速度很快，然后慢慢减速。前5秒内就完成了大半行程。
• 剩下的5秒，我们将走完剩下的70%到100%这段行程。而且，最后98%到100%这段我们将整整走1秒钟。

尽管初始速度很快，但是正弦运动就是这样，它会温柔地减速，直至停在最大值，然后华丽转身。就是这份从容使得正弦波格外与众不同。

快速问答：线性循环的10%和正弦循环的10%，哪一个距离原点更远？答案是正弦。前面提到，正弦运动在原点的速度最快。当正弦运动完成循环的50%时，它的速度降低到线性运动的平均速度，之后正弦运动继续减速，直至停在最大点，然后返回。所以，在开始阶段正弦运动跑得比线性运动快。

可见，输入x是指完成循环的量。那么，循环又是什么呢？

这和应用背景密切相关。

• 在基础三角学中，'x'为角度，一个循环为360度。
• 在高阶三角学中，'x'为弧度（弧度更自然），一个循环为单位圆一周（2pi）

问题又来了，循环依赖于圆！我们还能摆脱圆的纠缠吗？(未完待续)

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