数学界的四大危机（第三次数学危机）

一、巴别塔即将建成

在《圣经》中有一个故事，传说人类联合起来要建造一个通往天堂的高塔，这就是巴别塔，这个宏伟的计划令上帝恐慌，于是上帝让人类语言不通，产生了各种矛盾，以致于巴别塔胎死腹中。

不过勇敢的人类是不会轻易向上帝屈服的，他们又找到了一种新的通用语言来建造新的巴别塔，这种通用语言就是数学，这次巴别塔的总设计师就是希尔伯特。

1900年8月8日，第二届国际数学家大会在法国巴黎召开。

大会主席由著名数学家庞加莱担任。庞加莱号称是最后一位全才数学家，让他一鸣惊人的就是对三体问题的阐述，这可是连牛顿欧拉拉格朗日都头疼的问题，他更著名的事情是差一点从爱因斯坦手中抢了狭义相对论的发明权，不过他还不是这次大会的主角，大会的主角是希尔伯特。

希尔伯特被后世称之为“数学界的亚历山大”，想一想亚历山大的纵横天下的雄风，就可以想见希尔伯特在数学界的地位，他的好友闵可夫斯基是爱因斯坦的老师，他也差一点从爱因斯坦手中抢了广义相对论的发明权。

在大会上，希尔伯特做了著名的《数学问题》的演讲，这次演讲就是重建巴别塔的集合号。

第一次数学危机的一个副产品就是公理化思想，在此基础上，欧几里得编撰了《几何原本》，可是公理化思想并没有深入人心，也因此牛顿和莱布尼茨建起了一座摇摇欲坠的微积分大厦，直到魏尔斯特拉斯的极限理论出世才给微积分奠定了牢固的基础，随后的实数理论顺便也彻底解决了第一次数学危机。

痛定思痛之后，希尔伯特打算用公理化思想重建巴别塔，在演讲中，他提出了“二十三个问题”，在希尔伯特的规划中，只要这二十三个问题解决了，巴别塔就指日可待了。

在数学家大会召开前的三个多月的4月27日，物理学家们也召开了一次同样的盛会，物理学家们对未来的感觉要比数学家们好多了，在他们看来，巴别塔已经建成了。

当时物理学家们认为已经看透了宇宙的真相，接下来只是把实验做的更加精密一些，数字上在小数点后面再增加几位，不过和踌躇满志的希尔伯特不同的是，开尔文爵士还是审慎地指出了目前的问题，就是著名的“两朵乌云”，只是开尔文爵士没有想到的是这两朵乌云却带来了一场暴风雨，少年爱因斯坦就此成为满天星辰中最亮的那一颗。

希尔伯特同样没有想到，他的公理化运动在启程之初就遭到了阻击。

二、第三次数学危机

古龙说过“朋友就是用来出卖的”，这句话用在弗雷格身上最合适了，就在他的《算术基础》即将完稿之际，他收到了一封信。

弗雷格可以说是这场公理化运动的积极支持者，只是他并没有象战士一样去冲击希尔伯特划定的目标，他要从头建立数学的基础，比如什么是0，为什么1 1=2。

这不是废话吗？0就是没有啊，1 1=2小学生都知道呀，这不是公理吗？可是公理也可能错呀，想当初欧几里得的第五公设不就错了吗？别哪一天人们发现1 1≠2不就麻烦了，真要有那么一天的话，整个数学大厦可就崩塌了，与其到时候亡羊补牢，不如现在就未雨绸缪。

弗雷格就打算做这个工作，他在《算术基础》一书中重新定义了0.

弗雷格认为所有的空集的集合就是0，空集就是什么也没有的集合，比如有三只脚四只手的人，很显然没有这种人，这个集合就是空集，要是把所有空集的集合都放在一起作为一个集合呢，这就是1，把所有1的集合都放在一起呢，这自然就是2了，以此类推下去，就有了n 1，这样的话，就定义了自然数，这就是当初毕达哥拉斯认为理所当然的东西，不过毕达哥拉斯并没有给出自然数的定义，现在有了定义了，说明毕达哥拉斯的理论也建立在了严格的数学基础之上了。

同时这个方法也定义了加法，有了加法当然就有了减法，乘法除法也都出来了，看起来还没有什么大不了的是吗？毕竟还只是个四则运算嘛，可是不要忘了，数学家们上千年的思索可不是玩的，他们早就把路铺好了。

有了自然数，就可以用毕达哥拉斯的可公度理论，来定义有理数了，无理数呢？不要着急，极限理论出现的时候，就可以用极限理论定义无理数了，现在整个数轴都可以严格定义了，不过数轴还只是一条直线呢，傻子都知道，我们看到的可不是一条直线，i就出现了，i就是复数的基本单位，定义就是√-1，有了i以后，就扩大的数的范围，a bi就把数扩展到了平面空间。

数的问题解决了，数学不是还有一个分支是几何嘛，有了复数a bi，笛卡尔的解析几何就可以和复数一一对应了，至于三维多维空间，也不要担心，有哈密顿的四元数呀。

这样的话，几何问题也就解决了，这样的话，数学基本上就可以建立在严格的逻辑基础上了。

就在弗雷格踌躇满志，以为千秋万载一统江湖的时候，他接到他的好朋友罗素的来信。

罗素本人也是个传奇，咱们都知道诺贝尔奖没有数学，传说是诺贝尔被数学家撬了墙角，他就没有设置数学奖项，当然这只是传说，其实是因为诺贝尔认为数学没有多大用，毕竟造炸药会个加减乘除就可以了，不管怎么样，反正数学家要获得诺贝尔奖是不可能的。

可是罗素就获得了，只是他获得是诺贝尔文学奖，数学家获得文学奖这听起来有点厉害，更厉害的是他获得文学奖的作品，那是一本关于婚姻和道德的书，可罗素本人就是一个大渣男，这是不是更传奇了。

他的风流韵事就不谈了吧，还是来看看他是怎么背刺朋友的。

弗雷格的《算术基础》中所有的说法都建立在康托尔的集合论基础之上，而罗素指出集合论是有问题的，这就是罗素悖论。

罗素悖论有多种形式，最常见的就是理发师悖论，意思是说某个小镇有一个理发师，他宣称他只给这个小镇中所有不给自己刮脸的人刮脸，可问题就来了，这个理发师该不该给自己刮脸呢，要是他给自己刮脸，那么他就不是小镇中不给自己刮脸的人，他就不应该给自己刮脸，他要是不给自己刮脸呢，他就成了不给自己刮脸的人，那么他就该给自己刮脸，这样一来，理发师既不能给自己刮脸又得给自己刮脸，这还没法弄了。

这不就是个刮脸问题吗？爱刮不刮，能咋地？可是对于数学家来说却不是这样，因为这违反了康托尔的集合论。

康托尔的集合论有一个基本原则，对于任意一个集合A，A要么是属于自身的元素，记作A∈A，要么不属于自身，记作A∉A，二者必居其一，而罗素悖论中的理发师既属于给自己刮脸的人又不属于给自己刮脸的人，这就造成了悖论，这就意味着集合论有问题，既然集合论有问题，那么弗雷格的算术基础也就不对了，照这么算下去的话，数学可就没有严密的逻辑基础了，这就是第三次数学危机。

危机来了就得解决呀，可怎么解决呀？学第一次危机的解决办法，把罗素宰了？这肯定不行，再说了，宰了罗素也没有用呀，当初倒是把希帕索斯扔进大海里了，可危机也没有解决呀。

那就试试第二次危机的解决办法吧。可这太难了，大家琢磨了半天也没有办法，又不能解决提出问题的人也不能解决问题，这可怎么办呢？总不能都象牛顿莱布尼茨一样装糊涂吧。

数学家们搜肠刮肚半天，想了一个办法，那就干脆把集合论改了吧，理由就是集合论没有公理化，在公理化的思想指导下让集合论更完善起来不就可以了。

思路倒是好思路，可是方法就有些下作了，他们干脆把罗素悖论去除在外，说罗素悖论这样的集合不算集合，这种方法其实和当初把希帕索斯扔进大海没有什么区别，虽然没有把罗素肉体消灭，却把罗素的思想消灭了。

对于人们的这种做法，伟大的庞加莱评价道“为了防狼，用篱笆把羊群圈了起来，可是不知道篱笆里还有没有狼”。

庞加莱这句话非常传神，公理化的集合论并没有解决问题，只是把罗素悖论给轰了出去，这要是哪一天某个人福至心灵又一次想起了某个悖论，那么是不是还得在加上一圈篱笆呢？但是可以看出来，庞加莱虽然担忧，但还是希望这个问题可以解决。

希尔伯特也有同样的希望，在他著名的二十三个问题中，第二个问题就是算术公理系统的无矛盾性，也可以看出来希尔伯特也希望这个问题能够解决。

可是这两位数学王者的希望都被一个年轻人打破了，这个年轻人就是哥德尔。

三、不聪明的天才

哥德尔在25岁上就发现了哥德尔不完备定理，他是当之无愧的天才，可是我们平时的天才应该是高斯那样，三岁上就可以指出父亲账目上的错误了，可哥德尔到六岁上十以内的加减法还会算错，这是不是有点像我们熟知的另一位天才爱因斯坦，传说爱因斯坦小时候也不太聪明。

哥德尔不但象爱因斯坦，他和爱因斯坦还是好朋友。

爱因斯坦说过“我自己的工作没什么意思，我来上班就是为了能有何哥德尔一起散步回家的荣幸”，这可是爱神呀，一辈子怼天怼地怼玻尔的爱神，由此可见俩人的关系非比寻常。

爱神还是哥德尔加入美国籍的见证人，作为逻辑学家，哥德尔号称能证明美国宪法逻辑会导致独裁，这事儿其实自己知道就可以了，关键是他喜欢四处乱说，颇有希帕索斯的风采，在他加入美国籍的时候，爱因斯坦就一直告诉他千万不能瞎说，可是即便是爱因斯坦也有算错的时候，在移民官面前哥德尔还是憋不住了，又开始谈论美国宪法的问题，不过结局还是皆大欢喜，那是由于爱因斯坦吸引了签证官的注意力，毕竟爱因斯坦声名卓著，一个小小的签证官平时也见不到爱因斯坦，见到了这种大名人，自然没有注意哥德尔大放厥词。

就是这样的哥德尔，在1931年哥德尔提出了哥德尔不完备定理，这让数学家们两千多年来的妄想成为了泡影。

据说希尔伯特听说哥德尔不完备定理后勃然大怒，因为这意味着他的计划是不可能的，找来论文后，希尔伯特依然怒气未消，可看完论文后，顿时心悦诚服，立即着手修补自己的计划。

其实不止希尔伯特，就连哥德尔自己也没有想到，在证明了哥德尔不完备定理后，他无法想象竟然如此简洁，于是就开始查找文献，看看是不是前人已经做过这方面的工作，可是他没有找到，他确实是首创者。

现在我们来看看到底哥德尔不完备定理说了什么，又为什么这么重要？

哥德尔第一定理说的是“对于包含自然数系的任何相容的形式体系S，S中都有不可判定命题，从而该体系是不完全的”。

看起来一脸懵逼，是吗？这是由于哥德尔用了一些专业术语，咱们把专业术语解释一下就看明白了。

先说什么叫形式体系，其实就是前面所说的公理化系统，公理化系统包含三个性质，分别是相容性、独立性和完全性。

相容性是说不允许从公理性系统中推导出矛盾来，反过来说就是公理化系统中没有矛盾。

独立性是说每一个公理不能由其它公理推导出来，这个很好理解，要是某一个公理可以从其它公理推导出来，那么这个公理就是定理了。

完全性是说该系统中每一个命题都能判定真伪。

了解了这些专业术语，再来看看哥德尔第一定理，说白了就是对于一个公理化系统，相容性和完全性不可能同时满足，再说明白点就是一个没有矛盾的公理化系统，其中肯定有一个命题无法判定真伪。

咱们举个例子吧。

比如哥德巴赫猜想黎曼猜想，到现在为止都没有办法证明，而且有可能永远无法证明，这就是公理化系统中有一个命题无法判定其真伪，注意了，是无法判定其真伪，并不是说哥德巴赫猜想黎曼猜想是错的，要是时错的话，其实就已经判定了真伪，简单来说可证明的不一定是真命题，真命题不一定可证明。

感觉到恐怖了吗？如果还没有的话，再看看第二定理。

哥德尔第二定理说的是对于包含自然数系的任何相容体系S，其相容性是无法判定的。

第一定理说的还是相容性和完全性不可兼得，第二定理更是明确的说出了相容性都不可判定的，就是说任何一个系统都能推导出矛盾，而公理化系统要求就是相容性完全性和独立性，现在这几条都无法满足，公理化的大厦在瞬间崩塌。

四、数学的未来

无论物理学也好化学也好生物学也好，都有过大厦崩塌的时候，不过只要重新打好基础，大厦就可以恢复，可公理化基础崩塌之后，意味着数学也要消亡了。

在毕达哥拉斯的年代就认为数学是高高在上的皇帝，其它科学都只是皇帝陛下脚下的诸王，皇帝对诸王有生杀予夺之权，其依据的就是公理化原理。

其它科学都是在实验的基础之上研究，要是理论不符合实验结果，那么理论就是错误的，就需要重新修正理论，而数学是建立在公理的基础上，通过逻辑推理来建立，是根本不需要实验验证的，现在公理化思想已经被证明是错误的了，那么数学的皇冠也该摘掉了。

这才是真正的数学危机。

不过数学危机来临，并不代表数学的死亡，就像摘掉了皇冠褫夺了龙袍的末代皇帝一样，并没有判定皇帝死刑，只要放下皇帝的架子，用自己的双手去辛勤劳动，还是可以为社会做贡献的。

数学也是一样，只要和其它科学一样，用实验去验证自己，勇敢地发掘宇宙的奥秘，那么数学还是诸王之王。

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