数学导数怎么快速学习（数学大神教你如何轻松掌握导数学习技巧）

本期文章的主题是函数的求导分析。函数作为高考数学范围最广，难度最大的一类知识，几乎渗透进了数学考试的每一个求解步骤。

如果大家注意总结自己以往的考试题目或者习题的话，不难发现这样一个事实：只要问题涉及到代数公式，它总能采用函数或者函数的相关知识进行求解！

因此，如果想在数学考试中获得至少20分以上的大幅度进步的话，函数的学习不可马虎，而函数的分析也不能出现任何差错！

为此，我们请到了在2015年江苏高考中获得满分的徐承东同学，他将结合自己的经验为大家介绍函数求导的相关学习诀窍，帮助大家在接下来的复习过程中取得更好的成绩。

本期文章是徐同学的访谈记录的整合版，大致包含如下两个内容：

导数基本知识的学习：极限和导数严格来说是高等数学知识，因此从推理证明的角度去学习掌握导数的相关知识对于一般的高中同学来讲会非常困难。

但是，如果将导数视作一种特殊的公式并将其加以灵活记忆，那么这部分基础知识将成为高中数学函数知识中比较容易掌握的那部分。

导数知识在数学考试中的应用技巧：导数知识被压缩到高中课程以后，考试对其进行检查的难度也相对于高等数学有所降低，因此大家只需要掌握一些特定的技巧，就能在考试中做到对导数知识的灵活应用，进而更为高效地解决压轴题中的函数分析类问题。

第一步掌握导数基本知识

诀窍一：导数是检验函数变化趋势的唯一标准

如果你是年进入高三复习的同学，应该很容易就能察觉到这个说法是有问题的。

在高中，比较函数单调性的方法至少在三种以上，其中图像法和作差求商法是大家最早接触到的办法，也相对比较直观。

但是，这些方法仅限于能够计算函数值和存在已知函数图像的几种基本函数，例如二次函数的抛物线、三角函数的正弦曲线等，但是对于更为一般的、以表达式给出的函数来说，这些方法基本上都是无效的——大部分高考压轴题中的函数，既没有办法通过计算函数值来比较特定区间内的大小，也没有办法通过拼凑基本函数的图来判断其变化趋势，因此本质上，高一和所学的函数分析知识在高考中几乎很难考到，而对于一般的函数表达式，能够准确预测其变化趋势的分析方法，在高中阶段有且仅有导数。

因此，大家在进入高考总复习之前必须有意识地培养自己善于“扬弃”的习惯，而在函数分析这部分知识中，使用求导完全代替图像法和作商法就是扬弃的第一步！

在此基础上，必须坚定这样的一个信念：

只要给定了函数的表达式，那么通过某种形式的求导，它的变化趋势一定能和我们高中所学的基本函数模型产生联系，因此这些问题一定是可以求解的！

不过需要提醒大家的是，求导的过程本质上是使用一个更加简单的、可以判断零点特性的函数表示已知的复杂函数的过程，因此只有对高中课本里的各类基本函数的单调性和零点特性有充分的了解，才能实际保证这部分题目能够得到正确的答案。

因此，函数求导的知识，对于认真掌握教材基本知识的同学而言是较为简单的，而对于没能理解教材基本要点的同学来说，即便是认真掌握了求导公式也未必能在这部分取得相应的突破。

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诀窍二：极限可以不会，公式不能不背

导数知识的核心是导数公式，而导数公式则存在两个分支：基本函数的导数公式和函数运算的导数公式。我们首先来看基本函数的导数公式：

在高等数学的发展史中，导数公式的推导是利用极限的相关知识来进行的，但是对于当前的高中知识体系而言，极限却不是一个必须运用到能够独立推导导数公式这种程度的知识。因此，对于各位同学来说，记住导数公式比理解它的推导更为重要！

但是，如果大家完全不去理会极限的话，上面的公式的记忆将产生一个最为棘手的问题：因为没有所谓的“规律”可循，因此每一个公式都需要独立记忆，因此基本函数的导数公式也成为了历来数学考试中最容易出现计算错误的知识点。

不过在从高考历年的真题大数据来看，有这么几个导数公式是必须注意的：

多项式函数的导数公式：

正弦与余弦三角函数的导数公式：

指数函数与对数函数，尤其是e指数前提下的导数公式：

上述基本函数的导数公式，在各项数学考试中的地位非常重要，基本上每一次考试都会碰到。

诀窍三：换元打包，一波带走

前面已经提到，上述函数的导数公式只能对应一般的基本函数，但是对于考试中经常出现的复杂结构的函数，则需要使用求导运算公式来处理：

换元法是使用上述公式的要点。上面的公式中，每一个代数符号u, v对应的都可能是考试中的一个任意多项式。究竟哪些多项式必须被包含进一个代数符号的范畴，则需要由各位同学自己判断。

因此，求导过程中容易出现的第二个陷阱，就是在使用导数运算公式时，将问题搞得过于复杂。

对于同一个一般的函数而言，其求导方案很可能不止一种，因此我们在这里给出几个必须遵循的原则：

1. 尽可能避开分式整体求导

2. 尽可能避开复合求导

3. 函数求和进行整体求导时，应尽可能在拆分后的每一个单位内包含更多的多项式

分式整体求导因为涉及到平方运算，而且对u和v的先后顺序有明确要求，因此在求导的过程中非常容易产生分母多项式缺项和分子多项式正负号反转的错误，而复合求导的过程中则会涉及到多个三项以上的多项式相乘，因此也容易在项的元素和符号上发生错误。

在求和的整体求导过程中，为了保证尽可能少地使用复杂基本函数的导数公式，应尽可能将函数的子项“打包”成一个整体求导。

以上的原则总结起来，就是“换元打包，一波带走”，即使用尽可能少的步骤和尽可能简单的导数公式获得一般函数的导函数。

第二步 使用导数解决函数分析问题

诀窍四：求导问题就是零点问题

大家必须明确这样一个事实：

求导运算带给大家的，是一个新的函数，因此你的分析工作不过是从一个函数转向了另一个函数！

但是，比起原函数，名为导函数的新函数至少有如下的几个特点：

1. 函数的零点可以通过明确而有限的几次因式分解获得，并且零点的数值或代数结构不会特别复杂

2. 函数的图像可以通过已知函数的图像进行变换、组合获得，或者通过不超过1次的求导获得其在定义域内的变化趋势

这样的函数才是考试中最常见、最容易作为压轴题主角的函数。如果大家在求导结束后发现函数的结构比求导前更为复杂，那么就必须提高警惕，及时检查自己的计算是否出错了。

导函数本质上是反映原函数随自变量增加而变化的情况的一种特殊函数，而导函数的实数值便代表了函数在某个特定位置处的变化率。因此，导函数的零点往往是原函数变化率发生根本性变化的分界点，找到零点，基本上就可以确认函数的一个图像上的“波峰/波谷”

这一特性，使得绘制一般函数图像的工作能够在确认导函数零点的前提下顺利推进，而导函数的正负则提示了对应区间内函数的单调性。因此，只要能够顺利将基本函数的零点性质与导数公式予以掌握，那么在处理同类问题的时候计算效率将会成倍地提升

诀窍五：做题容易检查难，打好“伏笔”更简单

前面已经提到，导数计算在求解数学函数大题的过程中是最容易出错的地方。错误的原因主要有两类：导数公式的误用引发的原理性错误和求导方案过于繁琐引发的随机错误。

与一般的数学题的检查流程不同的是，这类问题的预防不能单单依靠检查阶段的计算复核，因为各位同学在考试过程中精神往往处于高度紧张的状态，因此很容易在做题的时候产生先入为主的惯性思维，而这种思维对于检查求导过程中的原理性错误毫无帮助！

在这种情况下，我们就需要在做题的时候适当为后期检查留出空间，这种做法和写作时的“打伏笔”是类似的：

1. 使用导数公式的时候尽量按照标准公式书写草稿，时间充裕的话可以采用下划线标记区分各个代数单位（即四则运算中的u和v）

2. 书写多项式的时候尽可能将独立的单项书写清楚，尤其是符号和字形相近的字母以及上标字符（例如平方符号），这样在检查的时候将使得每一个具体的项都有对应的公式支撑，其符号的正误也能更容易地判断出来。

以上的小建议，都可以在无形中提升大家求解问题的速度和做题效率。

好的，本期的数学考试专项技巧讲座就到这里，之后希望同学们做这么一件事：

在充分理解上述诀窍的基础上，用秒表测一测自己完成一个一般的函数求导所需要的时间，并寻找其中效率最高的求导方案

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