举例说明求近似值（四种方法计算200的近似值）

直接上干货：

设√200=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√196=14,

√200=x,

√225=15,用线性穿插得：

(200-196)/(225-200)=(x-14)/(15-x)

4(15-x)=25(x-14)

29x=410

x=410/29≈14.1379.

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，

∴dy=dx/(2√x）

对于本题有：

√200-√196=(200-196)/(2√196)

√200=√196 4/(2*14)

√200=14 1/7

≈14.1428.

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x)^a≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√200=√(196 4）

√200=√[196(1 4/196）]

=14√(1 4/196）

=14*[1 4/(2*196)]

=14 1/7

≈14.1428.

∵f(x)=f(x0)/0! f'(x0)(x-x0)/1! f"(x0)(x-x0)^2/2! O(x^3)

∴f(x)=f(x0) f'(x0)(x-x0) f"(x0)(x-x0)^2/2 O(x^3)

其中O(x^3)表示x的三次无穷小。

对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f"(x)=-(1/4)x^(-3/2)。

即：

f(x)≈f(x0) (1/2)x0^(-1/2)(x-x0)-(1/8)x0^(-3/2)*(x-x0)^2。

对于本题，x=200，x0=196,x-x0=4,代入得：

√200

≈√196 (2/1)*196^(-1/2)

-(1/8)*4^2*196^(-3/2)

≈14 (2/1)*14^(-1)-(1/8)*4^2*14^(-3)

≈14 1/7-4^2/(8*14^3)

即：

√200≈14.1421。