二重积分相加交换积分次序的方法（三重积分交换积分次序）

有些三重积分，直接计算时很复杂，甚至出现没有原函数的情形，似有山重水复疑无路之感。若将三重积分进行积分次序交换，则会有柳暗花明又一村之效，从而化复杂为简单，化不可能为可能。

三重积分的积分次序交换原则：

　　邻近平面交换；第三变量常数。

解释：对于三重积分

其积分次序为z→y→x，如果要将积分次序换为x→z→y，即

则应分两步进行：

第一步，将z看作常数，原积分在xoy面的区域D(z)交换积分次序，原积分变为

第二步，将y看作常数，此积分在xoz面的区域D(y)交换积分次序，此积分变为

同理，要将积分次序z→y→x换为z→x→y，则先将x看作常数，原积分在yoz面的区域D(x)交换积分次序，再将y看作常数，在xoz面的区域D(y)交换积分次序即可。

例1 将三重积分

交换积分次序为x→z→y。

解 第一步，将z看作常数，在xoy平面区域为：

0<y<1-x，0<x<1

交换次序后为：

0<x<1-y，0<y<1

原积分变为：

第二步，将y看作常数，在xoz平面上区域为：

0<z<x y，0<x<1-y

其中0<y<1。该区域如图：

交换积分次序后为两部分：

0<x<1-y，0<z<y

z-y<x<1-y，y<z<1

因此，交换积分次序后最终结果为：

例2 计算三重积分

解 直接计算很复杂，考虑计算时最后进行z变量的积分，这样可减少计算量。因此交换积分次序:

例3 计算三重积分

解 由于被积函数没有显式原函数，可以通过交换积分次序来计算。首先交换y和z，这时将x看作常量。

此积分被积函数还是不能积出，继续交换积分次序：