初三数学圆的经典例题及解析（圆知识的第二部分及例题详解）

圆的第二部分的主要内容有

/.点与圆的位置关系.如图

(1)点在圆外<=>d>r，如点A.

(2)点在圆上<=>d=r，如点B.

(3)点在圆内<=>d<r，如点C.

(d为点到圆心的距离，r为圆O的半径).

■平面内，不在同一直线上的三个点确定一个圓.

■经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫这个三角形的外心.这个三角形叫这个圓的内接三角形，三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.

2.直线与圆的位置关系.

(1)直线和圆相交<=>d<r，有两个公共点;

(2)直线和圆相切<=>d=r有且只有一个公共点

(3)直线和圆相离<=>d>r，没有公共点

■切线的判定定理:

经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

■切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

■切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圓心和这个点的连线平分两条切线的夹角.

■和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，这个三角形叫圓的外切三角形.三角形的内心是三个内角平分线的交点，内心到三边的距离相等

■证明直线与圆相切，一般有两种情况:①已知直线与圆有公共点，这时连接圆心与公共点的半径，证明该半径与已知直线垂直.即连半径，证垂直.②不知直线与圆有公共点，这时过圓心作与已知直线垂直的线段，证明此垂线段的长与半径相等.即作垂直，证半径.

■圆与圆的位置关系的内容，现在教学为选学内容，不再陈述.

这部分内容以直线与圆相切最为重要，它不仅沟通了几何图形中的数量关系、线的位置关系和线段间的等量关系，还常与勾股定理联系起来，派生出很多重要的结论，为中考的开放性、探究性考题提供了素材.

【题目呈现】

1.如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB=45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是_______

【分析】左右平移OA，当平移线与⊙O相切时正好与⊙O只有一个公共点，如图

设此时与x轴上的一个交点为P1，连接O与切点C，可知△OCP1为等腰直角三角形，∠OCP1=90°，而OC=1，∴OP1=√2，∴x的取值范围:一√2≤x≤√2.

2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为(____)

A.13/3，B.9/2，C.4√13/3，D.2√5

【分析】要求DM的长，看图应考虑Rt△DCM，用勾股定理，DC=AB=4，再看⊙O与AD，AB，BC分别相切，与DM相切于点N，由切线长定理知，AE=AF，BG=BF，GM=MN，DE=DN，而OE⊥AD，OF⊥AB，OG⊥BC，且OE=OF=OG，∴AE=AF=BF=BG=2，则ED=DN=3=CG，于是设GM=x，则DM=3十x，MC=3一x，∴在Rt△DCM中，可得4² (3一x)²=(3 x)²，解得x=4/3，∴DM=13/3，选A.

3.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2√2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为______.

【分析】此题，给定了两个角度，一条看似与EF无关的边，在圆中，我们就要连OE，OF，则∠EOF=120°，这样出现了一个120°的等腰三角形，则EF=√3OE，看来欲使EF最小，则须半径或直径最小，即AD最小，当AD⊥BC时AD最小(垂线段最短)，而AB=2√2，∴AD=2，则OE=1，∴EF长度的最小值为√3.【注，圆中最值问题常用到直径】

4.如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.

(1)判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论;

(2)过点F作FH⊥BC，垂足为点H.若等边△ABC的边长为4，求FH的长.

【分析】第一问应该是相切关系，由于D是圆上的点，所以连半径，证垂直，如图

连接OD，由于△ABC是等边三角形，∠A=∠B=∠C=60°，而OD=OB，∴△BDO也是等边三角形，∴∠BDO=60°，又DF⊥AC，∠DFA=90°，∴∠ADF=30°，∴∠ODF=90°，即OD⊥DF，∴DF与⊙O相切.

第二问，由于BD=BO=BC/2=AB/2=1/2×4=2，∴AD=2，∴AF=1，CF=3，在Rt△FHC中，∠C=60°，FH=3√3/2.

5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D.

(1)求证:AC是⊙D的切线;

(2)求证:AB EB=AC

【分析】此题AC与⊙D无公共点，所以过D作AC的垂线DF，垂足为F，即作垂直，证半径，如图

由于AD平分∠BAC，又∠B=90°，∴DF=BD，∴AC是⊙D的切线.又可知此时AB=AF，为第2问提供了依据，只须证CF=EB，由于DE=DC，BD=DF，∴Rt△EBD≌Rt△CFD，∴EB=CF，∴问题得证.

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