初中尺规作图压轴题（尺规作图的思考）

一.问题描述

如图，P点是直线AB外一点，用无刻度直尺和圆规，过点P作AB的平行线．

二.方法探究

01思路1：过点P作CD⊥AB，过点P作EF⊥CD，即可得EF∥AB．

思路2：在AB上任取一点Q，连接PQ，作∠1=∠PQB，可得CD∥AB．（类似可构造内错角）

思路3：在AB上取点M、N，作PQ=MN，NQ=MP，可得PQ∥AB．

思路4：在AB上任取一点M，作PM=MN=NQ=QP，可得PQ∥AB．

思路5：在AB上取点M，作PN=PM，延长MP至O，作∠NPO角平分线PQ，可得PQ∥AB．

思路6：在AB上任取一点M，连接PM，取中点O，在AB上任取一点N，连接NO并倍长至点Q，则PQ∥AB．

思路7：在AB上任取一点M，连接MP倍长至点O，在AB上任取一点N，连接ON，取其中点Q，连接PQ，则PQ∥AB．

思路8：在AB上任取一点M，连接PM，作∠PMB角平分线，以P为圆心，PM为半径作弧与角分线交于点Q，连接PQ，则PQ∥AB．

三.真题重现

（2018·北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ，是的PQ∥l．

作法：如图，

①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；

②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；

③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：∵AB=________，CB=________，

∴PQ∥l（________________）（填推理的依据）．

解析：作图如下