初一几何题证明带答案30道（一道几何题-初中证明题）

一道几何题-初中证明题（含高中解法）

ABCD是正方形，AC上的两点E和F满足∠EDF=45°，若AE=x, EF=y, FC=z,

那么有：

证明：方法1-初中方法

如图将三角形FDC反时针旋转90度，这样DF落在DF’, DC 与DA重合，连接F’E

显然由于旋转关系， 三角形DAF’全等于三角形DCF，这样

F’A=FC=z,

DF’=DF

∠F’DA=∠FDC

由于∠F’DA ∠EDA=∠F’DC ∠EDA

=∠ADC-∠EDA

=90°-45°

=45°

所以三角形EDF’全等于三角形EDF

因此EF’=EF=y,

此外在三角形F’AE中有∠F’AE=∠F’DA ∠EDA

=45° 45°

=90°

根据勾股定理：

即证得：

证明2： 高中解法利用正弦定理，如图标出各个角度，

在三角形AED中有：

在三角形EDF中用正弦定理有：

同样在三角形EDF中，

在三角形DFC中：

第一个等式除以第二个等式有：

即：

将第三个等式用第四个相除得：

即：

将上面有关的等式利用三角公式化简有：

Sin(90-θ)=cosθ

另外 sin(45 θ)=sin(90°-(45°-θ))=cos(45°-θ)

Sin(45° θ) sin(45θ-θ)=cos(45°-θ) sin(45°-θ=1/2sin(90-2θ)

因而：

即证得：

证法3： 此题还可以用余弦定理，方法是三角形ADE，EDF和FDC中分别求出x, y, z的平方，，然后再利用三个三角形的面积和是正方形面积的一半就可消掉中间项ED和FD的值。这里省略。

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