韦达定理对称性(第二百五十九夜)

蝶形图形多半都涉及到“非对称韦达定理”,这是最近常考的模式。

对称问题当然不在话下,非对称问题亦非痛点。只要掌握其中的套路,问题便可势如破竹、迎刃而解。“非对称韦达定理”,我介绍得不算多,但也不会少。并非我喜欢老生常谈,只要继续考,我就不能回避。未来亦是如此。

巴蜀中学高2022届高三的第一次月考就是这个,本该早点奉上,不好意思,竟然忘了。不过现在推出也不算太晚,目前恰是复习“圆锥曲线”的节点,正当其时。

韦达定理对称性(第二百五十九夜)(1)

韦达定理对称性(第二百五十九夜)(2)

非对称韦达定理,利用“和积关系”可以,“代一半”也行,当然都不如“构造对称”来得痛快。法1就是利用和积关系,法2则是构造对称,剩下的就交给你自行探索。

圆锥曲线解题的核心是什么,我不知道。但很难说“韦达定理”不是起到关键作用,毕竟最终的目标或结论都将转化到这里。对称产生美,然而现实却很残酷,不对称占了大多数。所以整容变得如火如荼,将非对称构造成对称,以此消除内心的痛苦。

韦达定理对称性(第二百五十九夜)(3)

韦达定理对称性(第二百五十九夜)(4)

“三点共线,构造对偶式”,这便是法3的实质。

我不提倡,但不妨碍你围观。

法3有一个更合适的名字——设点。如果平素缺乏专门的训练,那么这个过程看着就不那么养眼。其实我也一样。不养眼的东西不一定要拒绝,走马观花也是不错的选择。

设点在抛物线中用得更广泛,原因在于抛物线中只含一个平方项,消元变得简便。

韦达定理对称性(第二百五十九夜)(5)

设点解点规避了韦达定理不对称的情况,自然也就不需要那些消元的技巧。

值得一提的是,以往的韦达定理一般是关于斜率(或截距)的式子,而设点解点则直接转化为坐标,二者在本质上没什么差别。不过面对非对称形式,设点的优越性才真正体现。我是蛮喜欢这种套路的。

另外,本题还有一种更常见的模式,我们曾介绍过:

韦达定理对称性(第二百五十九夜)(6)

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