立体几何怎样证面平行（立体几何学习方法9字诀）

立体几何学习方法9字诀：画、拉、记、 辩、嵌、 猜、变、换、 算

文/刘蒋巍

很多人在学习立体几何时感到困难，主要是因为没有掌握有效的学习方法。笔者提出9个学习立体几何的方法，这些方法已经在长期的教学实践中得到检验。

方法1：画

对于一个空间几何体，想象其空间图形并画出来，对学习立体几何是非常有益的，要让所画（或所看到）的“立体”图形，真正地在脑海中“立”起来。

否则，对于类似下面简单的问题也会得到错误的答案。

方法2：拉

根据“长对正，高平齐，宽相等”，不难由几何体画出相应的三视图，但往往难以由三视图想象出相应的几何体。如下面的问题：

事实上只要以俯视图为突破口，抓住关键的点或线拉一拉，几乎所有三视图的问题甚至无需画图即可解决。如本题中把俯视图中A点沿着垂直于纸面方面拉一拉，拉起来的高度为2；并且俯视图是底边长为4，高度为3的三角形，求其体积便是一件很自然的事情。

方法3：记

概念、公理、定理自然要记，但一些重要的中间结论同样也要记。只是不能死记，要在理解的基础上去记。有时，利用这些结论可以很快地解决一些运算起来很繁琐的题目，尤其是在求解选择题或填空题时。对于解答题虽然不能直接运用这些结论，但我们可以把这些结论先证出来再加以运用。如数一个几何体有多少对异面直线，往往数一个几何体有多少个四面体（因为四面体模型中有三对异面直线）就可以了。

方法4：辩

一个命题由平面过渡到空间，正确的要能证明，错误的要举出反例。即便都是空间的命题，有些比较相近的内容也容易混淆，因此学习时一定要辩一辩，彻底地弄明白，不留死角，不留盲点。

如“平行于同一条直线的两条直线平行”（正确，平行的传递性）与“垂直于同一条直线的两条直线垂直”（错误，譬如墙角）；又如在证明一个几何命题时，什么时候用判定定理，什么时候用性质定理，都要用心辨别。一般而言，由未知，想判定；由已知，想性质。

方法5：嵌

有没有把一个非标准的几何体嵌入到标准的几何体（如：长方体）中的意识，涉及到我们有没有转化与化归的数学思想。 如：

本题若直接计算，将费时费力。如果将所给的四面体嵌入到正方体 OAEB-CFDG（如图 4）中，很快就会选出正确答案（B）。

方法6：猜

猜想能激发学生的求知欲，猜想正确时会感受到猜想的乐趣，享受到成功的喜悦，学生会以更大的热情投入新知的探求中。在学习过程中通过适时、适度的引导，启发学生猜想，可以将新知识纳入到整个知识体系之中。

方法7：变

有些学生时常满足一知半解，做题时照葫芦画瓢，不能领会实质，不能掌握解决该类题的通性通法，这与近几年高考的要求是相左的。因此必须从题海中解脱出来，要学一题，得一法，会一类。

本题由两问组成，显然是为了控制难度，尤其是第一问证出以后，很容易得到 H 是△A1C1B 垂心的结论，而△A1C1B 又是正三角形，为第二问的解决铺平了道路。

我们不妨将其变一变：

事实上，第（1）问是一个假命题，是想让同学们知道如何说明一条直线与一个平面不垂直；而第（2）问正是基于通性通法而考虑的，怎样正确作出 B1D 与平面 A1C1B 的交点 H 是解决本题的关键。

我 们可以这样思考：点H一定要变成同一平面内两条直线的交点， 那么就要在含 B1D 的面中寻求另一条直线。 我们自然想到平面 BDD1B1，如图 7，不

难发现平面 BDD1B1 与平面 A1C1B有两个公共点B、O1 （为了便于学生观察，平面 BDD1B1 用红色，平面 A1C1B 用蓝色，姑且称 B、O1 为双色点），显然 B、O1 是这两个平面的交线，而易知点 H 是这两个平面的公共点。 因此，H在BO1上且BO1∩B1D；接下来，BO1 是△A1C1B 的中线且BH=2HO1都是很显然的。

就这样，从已知到未知，又从未知到已知，寻求正反两方面知识衔接点之间的一个固有的或确定的数学关系，使问题得以顺利解决。

方法8：换

换一种叙述方式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是解题的一个重要原则。

例如下面一道求直线与平面所成角的问题：

思路一：可以利用 VB1-BDC1=VD-BB1C1 求点 B1 到平面 BDC1 的距离，把问题换成求直线与平面所成角的正弦值；

思路二：也可以把“求 BB1 与平面 BC1D 所成角的正切值”换成“求 CC1 与平面 BC1D 所成角的正切值”， 这样一来三棱锥 C-BDC1 正是长方体一角模型，由直角顶点向底面作高，同学们非常熟悉；

思路三： 注意 A1C 到与平面 BC1D 垂直的事实，本题也可换成求异面直线 BB1 与 A1C 所成角的问题。

可以看出，通过不断转换命题的形式，把它转化为一类已经解决或是较容易解决的问题，可使问题由繁变简，由难变易。

方法9：算

立体几何计算题， 单纯的计算往往无济于事，必须辅之必要的空间想象及必要的逻辑推理。

如果能建立空间直角坐标系如图10，设球心O 的坐标为（x，y，z），因为|OM|=|OB1|=|OC|=|OD1|，利用空间两点之间的距离公式不难解决；但如果能注意到球心在 AC1 上，故可设球心 O 的坐标为（t，t，t），则只需要利用|OM|=|OB1|即可解决。

当然，学好立体几何还要注意与其它知识的有机联系。不过九九归一，学之道在于悟。只善于思考，善于总结，落实一个“悟”字，才能真正领会和掌握这些学习方法的精髓。