等腰三角形三线合一怎么证明(等腰三角形)

等腰三角形三线合一怎么证明(等腰三角形)(1)

提要

等腰三角形是最常见的图形,由于它具有一些特殊性质,因而在生活中被广泛应用。等腰三角形的性质,特别是它的两个底角相等的性质,可以实现一个三角形中边相等与角相等之间的转化,也是今后论证两角相等的重要依据之一。等腰三角形“三线合一”是今后论证两条线段相等及线段垂直的重要依据。遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题。同时,要注意在底和腰没有明确的条件下需分类讨论。

知识全解

一.定义

有两条边相等的三角形称为等腰三角形,其中相等的两条边称为等腰三角形的腰,另一条称为底边,两腰的夹角称为顶角,腰和底边的夹角称为底角。

二.性质

(1) 等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴。

(2) 等腰三角形两底角相等

(3) 等腰三角形底边上的高线,中线,顶角平分线重合(简称“三线合一”)

三.判定

有两个角相等的三角形是等腰三角形,简称“等角对等边”

方法点拨

类型1 三线合一性质应用

例1 如图所示,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE。求证:AD=AE

等腰三角形三线合一怎么证明(等腰三角形)(2)

【分析】根据等腰三角形的“三线合一”性质,过顶角的顶点作底边上的高

【解答】过点A作AF⊥BC于点F,

∵AB=AC

∴BF=CF

又∵BD=CE

∴DF=EF

∴AD=AE

【总结】等腰三角形三线合一是等腰三角形的重要性质,在解答有关等腰三角形问题时如果知道三线中的“一线”,就可以得出其他“两线”,但要注意使用条件和使用规范。如果没有给出三线中的一个,则可以通过条件辅助线的方法构造出相应图形。

类型2 方程思想求角度

例2 如图所示,在△ABC中,D是边BC上的一点,AD=BD,AB=AC=CD,求∠BAC的度数

等腰三角形三线合一怎么证明(等腰三角形)(3)

【分析】由AD=BD得∠BAD=∠DBA,由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA,∠DBA=∠C,从而可推出∠BAC=3∠DBA,根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数,从而不难求出∠BAC的度数。

【解答】AD=BD

设∠BAD=∠DBA=x

AB=AC=CD

∠CAD=∠CDA=∠BAD ∠DBA=2x,∠DBA=∠C=x

∠BAC=3∠DBA=3x

∠ABC ∠BAC ∠C=180

5x=180

∠DBA=36

∠BAC=3∠DBA=108

【总结】本题根据等腰三角形性质得出相等的角,再结合三角形内角和,外角性质列出方程求解。

类型3 等角三角形的判定

例3 如图所示,AD平分∠BAC,BD⊥AD,DE‖AC,求证:BE=DE

等腰三角形三线合一怎么证明(等腰三角形)(4)

【分析】由AD平分∠BAC,得出∠EAD=∠CAD,DE‖AC,得出∠CAD=∠ADE,进一步得出∠EAD=∠ADE,再进一步利用等角的余角相等得出∠BDE=∠B,证得结论。

【解答】AD平分∠BAC

∠EAD=∠CAD

DE‖AC

∠CAD=∠ADE

∠EAD=∠ADE

BD⊥AD

∠ADE ∠BDE=90

∠EAD ∠B=90

∠BDE=∠B

BE=DE

【总结】证明线段相等,如果要证明的两条线段在同一个三角形中,通常考虑根据“等角对等边”来证明

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