0.9的循环是怎么被算出来的(0.9的循环是等于1)
0.999……无限循环等于1吗?这是非常老的一道题,相信绝大部分人都听说过。
先说笔者的答案:等于1,但不恒等于1。
等于1很好证明。
令X=0.999……,10倍的X即10X=9.999……。
10X-X=9X,也等于9.999……-0.999……=9。
由此可得9X=9,X=1,所以0.999……=1。
但是曾经在抖音上看了严伯钧老师的讲解后,知道了这题还有不等于1的情况,所以有了后半句话:不恒等于1。
证明方法如下,令:
n=1时,X=0.9;
n=2时,X=0.99;
n=3时,X=0.999;
以此类推,当n趋向于无穷大时,X=0.99999……,即:
假如0.99999……恒等于1的话,那两者无论做加减乘除或其他任何一种数学运算,只要运算过程相同,得到的结果应该始终是相同的。可惜,这题做不到,问题出在乘幂计算中。
将1和0.99999……分别做10的n次方的乘幂运算,且n趋向于无穷大,即:
1的任何次方都等于1,所以前者等于1,那照理,后者也等于1。可惜,后者可以改写成:
而这个极限,又等于:
e是自然对数,约等于2.71828,很显然,1/e不等于1。
在乘幂情况下,0.99999……又不等于1。
由此,回到了本文开头的答案:等于1,但不恒等于1。
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