实数的严密性理论（实数理论的建立）

实数理论的最终建立依赖于极限理论的发展与完善。实数理论的基础是用有限小数和无限循环小数重新定义了有理数，只有这样才可能用无限不循环小数来定义无理数，这样的定义可以进行运算，但不利于对问题的证明。基本序列和戴德金分割是定义实数的另外两种重要方法，虽然这两种定义方法对于运算而言是没有新意的，但基本序列法有利于对运算法则的论证，戴德金分析法有利于实数连续性的论证。当然，这两种方法都有让人困惑不解的地方。

在这一讲，我们重新讨论数，这是一个最为基本的问题，也是一个最为复杂的问题，至今依然疑问重重。但无论怎么说，有了极限理论，我们可以在更高的层次，更为深刻地讨论数的问题了。

事实上，也只有建立了极限理论之后，才有可能建立比较严格的实数理论。世界上有许多事情就是这样的，先是凭直觉在一个朦胧的框架下开展工作，随着工作的深入不断地完善着这个框架，当真正能把这个框架说清楚的时候，工作很可能已经进入了尾声了。就数学的抽象而言也是如此，首先从数量中抽象出数，抽象出数和常量的运算方法，抽象出函数和变量的运算方法；然后进一步用符号，概念和法则来表达以及合理解释运算方法；最终合理地建立和解释数的体系。这个循环可能会有几次重复，而每一次重复都迫使人们把问题思考更加广泛，更加深刻。