数学书上那些细思极恐的事情：竟然在浴室中发现这些数学秘密

马桶和喷头

都那么有内涵了

一日，超模君上厕所，按下冲水按钮后。

面对着马桶中回旋的水涡，不禁沉思起来。

（水流中似乎蕴藏了什么秘密）

这时，超模君的职业病犯了，拿起笔，开始画图。

将水流大致表示成如下的二维向量图，向量的方向即为水流方向，长短表示水流力量的大小。

那么问题来了，水流旋转产生的力到底是怎样的呢？

这当然难不倒机智的超模君，思考片刻，便将魔爪伸向了浴缸旁的小黄鸭。

（你想干什么？！！）

为了计算出物体在水流中收到了多少旋转的力，超模君按下冲水按钮，沉（sang）着（xin）淡（bing）定（kuang）地把小黄鸭扔进了波涛翻滚的马桶之中。

小黄鸭于是在漩涡中快速旋转，发现马桶是通往另一个时空的大门！

抱歉，刚才臆想一下，小黄鸭还是淡定地处于马桶旋涡中。

其在水流中漂流一周的运动轨迹类似这样封闭圆环，称为曲线

。

通过观察马桶旋涡中的小黄鸭，发现只有与小黄鸭运行轨迹方向不垂直的水流，才会使得小黄鸭作旋转运动，即运动轨迹垂直方向的作用力是不会导致旋转的。

换句话说，只有切线方向的力才能导致旋转。

也就只需要关注水流在曲面切线方向上的分量即可，设曲面一点切线的单位向量为

，于是导致小黄鸭作旋转运动的力为

。

所以，单位时间内，小黄鸭沿轨迹在水流中受到的旋转的力为：

咦，有种似曾相似的感觉，这不就是一个环量吗？

那么图中圆内某一点的旋转强度是多少呢？

运用极限与微积分思想，不断缩小封闭曲线区域至一点D，就可以得到某一点D环量的强度，即：

其中K为

围成的区域（实际情况一般为三维空间），S为K的面积。这个环量与面积S比值的极限就是旋度。

又到高中知识复习的时候。

旋度是矢量，方向可以根据物理上的右手定则判断。

四指指向封闭曲线的方向即轨迹运动方向，大拇指即为旋度方向。由于图中封闭曲线逆时针旋转，根据右手定则，可以得知旋度方向垂直于马桶面向外。

既然旋度是用环量除以闭合曲线的围成范围的面积，再令曲线无限小。那么是否能够类比出散度的含义？

于是超模君把注意力放在了浴室的喷头上。

打开喷头，水流从喷嘴出哗哗的流出，黑色箭头表示某一水流。用一个球状网将喷头包住，喷头可以近似看成一源头，水流从喷头处沿着不同方向辐射出并穿过球状网，那么球状网表面的辐射强度是怎么求呢？

球状网就是一个球状曲面。同样的，只需关注

垂直于曲面的分量，即

。所以对其求曲面积分，对于球状曲面J，得：

这个表达式称为曲面的通量。那么又如何计算球状曲面所围成的球状区域内任意一点B的辐射强度呢？

相信大家应该都想到了，对，同样根据极限与微积分思想，不断缩小封闭曲面直至与所求点A重合，再除以封闭曲面所围成区域的体积，就可以得到该点的辐射强度，称为散度。具体表达式如下：

P为封闭曲面J围成的区域，V为区域的体积。

这是今晚的知识点，如果看完睡不着。那就在文章下面留言，1楼、5楼、10楼有惊喜！

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