除数是一位数的除法怎样计算的(谈谈除数是一位数的除法的估算)

  谈谈除数是一位数的除法的估算

  2019年3月31日星期日

  关于“估算”,我之前写过一篇文章,比较笼统。

  ——《小学数学估算教学内容的分类

  今天,我打算针对“除数是一位数的除法的估算”再具体写一写。这些内容并不新鲜,也是我课堂当中所讲过的。本文的作用或许可比于帮助学生所做的、比较详细的“课堂笔记”。

除数是一位数的除法怎样计算的(谈谈除数是一位数的除法的估算)(1)

课堂板书(对于书写,本人亦表示“呵呵”)

  学生对于估算的学习问题很多,或许需要更长的时间才能熟稔于心,这也是促使我罗里吧嗦再度行文的重要原因。

  估算的重点在于掌握估算的方法,估算的难点恰在于估算方法的多样性和灵活性。迄今为止,至少我是没能发现一种能“通用于各种情况”的“万能算法”的,因为至少对于“针对解决问题的估算”是不能完全套用“针对计算的估算”的方法的。

  我个人认为:估算的重点在于培养估算意识,领悟估算思想,至于估算方法,则是基于“估算思想”的自然选择和自在取用。从多种多样的估算方法中抽象出估算的本质思想,并进而藉此统领众多的估算方法,是学习估算的“辩证的”方法论。

  本文力图对“估算”进行一番全面而深入的梳理,但毫无疑问又明显带有小学三年级的学段局限。

一、基于对估算的重大误解谈估算思想

  以“255÷4”为例。

  因为:

  255÷4=63……3

  (除法竖式略)

  63≈60

  所以:

  255÷4≈60

  这种错误不仅小学生会犯,部分未接触或未深入理解估算的成年人也会犯。从家长的辅导和询问中,我证实了这一点。

  之所以将其冠以“重大”误解,是因为其计算逻辑是:先准确计算出结果,再对结果求近似数。这种做法有违常识——假使我们都知悉了准确结果,又何需近似结果?且徒使估算寄生于笔算(或“精算”吧)之上,成为多余的附庸,整个计算过程也只为了“难受”而已。以数学学科之严谨周密,断然不会如此。

  这种错误可以冠名为“本末倒置型”。孰为本?计算过程的估算;孰为末?对准确结果求近似数。

  为了防止再度出现这样的错误,我给学生“打补丁”:变一变,做口算。

  末了,加一句:以后估算只要你列竖式算了,就错了。当然,这一句经不起推敲,只为加深“变一变,做口算”的印象。

  这应当是最为原生态的估算思想。

二、基于对估算的极端错误示例谈估算思想的细化

  错例1:

  式(1):148÷3=50

  式(2):148÷3≈150÷3≈50

  既然是对原算式做了“变一变”的处理,则原结果被“扭曲”了,等于号“=”也要扭曲成约等于号“≈”,以示对算式和结果变化的声明,让估算来得光明磊落,而非偷偷摸摸。式(1)显然在蒙骗。式(2)则过于机械,并不理解“=、≈”在于其连接两端的数量关系。就“148÷3”与“150÷3”之间,应当用“≈”;“150÷3”与“50”之间,应当用“=”。修改为:

  式(1):148÷3≈50

  式(2):148÷3≈150÷3=50

  式(1)是“直接写出结果”,式(2)则声明了估算过程。

  错例2:

  456÷7≈455÷7=65

  这个估算的确做到了“变一变”,而且变得很巧妙,因为:456÷7=65……1,轻轻地将被除数减少余数1,便可以除尽了。再看时,也是不见除法竖式的,尽可以将竖式偷移于“草稿纸”上,形式化地满足了老师提出的估算要求:变一变,无竖式。让人啼笑皆非,属于“照猫画虎型”

  针对这种错误类型,我提出估算的第一原则:简便。

  错例3:

  251÷3≈3÷3=1

  这是一个臆想的错误类型,一般人不会如此大胆。但从犯错的逻辑上而言,这种错误“可以有”。它满足“变一变”和“简便”的要求,而且“简便”得分外彻底!由于“夸张”的存在,虽然迷惑性强,但不难发现,这是“胡作非为型”,不是在“估算”,而是在“胡算”!

  若是:

  251÷3≈210÷3=70

  您是否会多一分“宽容”?

  其实,二者是一丘之貉,以五十步之笑百步耳。鉴于其“夸张”程度低,可称呼为“舍近求远型”。我们更期望的算法是:

  251÷3≈240÷3=80

  这种错误暴露了学习者的至少两种缺陷:

  一是在做例如:( )×3<25,括号内最大填几的练习时,不知训练的目的;

  二是乘法口诀学习、记忆、应用中的缺陷,只知不管3×7=21,而不知有3×8=24。

  这时,我给出估算的第二原则:接近。

三、基于口算类型特点反推估算方法

  只知“思想”,没有“方法”,是不成气候的。以上所列部分错误类型,足见“思想”在领悟过程中的多样性和不靠谱的一面。好的“方法”,承载了“思想”,是“思想”的具体化和实现手段。估算方法的来源应当是基于口算类型特点的分析和口算方法的总结。这是估算知识和口算知识间重要的逻辑关联。

  小学生的乘法口算是“分层次递进”的,譬如练功,分布于“第几重境界”,是有差异的。

  第一重:一位数乘一位数,即“表内乘法”。形如:1×1、6×7、5×3、9×9……共有81个,因为基于“一个数的最高位不能为0”的规则,单独一个“0”,并不算做“一位数”。这是对全民乘法口算的必须要求。

  第二重:整十、整百……数乘一位数。自此而下,皆突破了“九九乘法表”。形如:10×3、60×7、500×3、9000×9……

  第三重:整十、整百……数乘整十、整百……数。形如:10×30、60×70、500×300、9000×900……这两重,形式上恐怖,好似一下子口算“多位数乘多位数”。实则简单,只需特殊处理一下因数“末尾的0”,“非0部分”的乘法其实也便是“表内乘法”。

  第四重:不进位的多位数乘一位数及整十、整百……数的拓展。形如:12×4、23×3、122×4、122×40、1230×300……所谓“不进位”,换个角度而言,即“积为10以内的乘法口诀”,有:1×1~9、2×1~4、3×1~3、4×1~2、5×1、6×1、7×1、8×1、9×1,共23句,以“大九九”论,不以“小九九”算。所谓“多位数”,至少是其非0数字在两位以上,包含:120、1020、2300……这些以“几百几十”、“几千几百”……称呼的数,也含:102、23、224……这些“非整十、整百……数”的一般多位数。

  第五重:不连续进位的多位数乘一位数及整十、整百……数的拓展。形如:13×4、24×3、123×4、123×40、1040×300……

  第六重:连续进位的多位数乘一位数及整十、整百……数的拓展。形如:43×4、243×5、405×4、789×40、4040×300……

  第七重:特殊数字乘一位数及整十、整百……数的拓展。如:11×4、111×5、22×4、2222×30、25×4、25×70、15×3、150×50、125×8……

  以上五、六重,实则纳入了笔算教学范围,第四重同时纳入了口算和笔算教学,第七重其实属于“计算练习的特定经验积累”,类似于为了提高圆周率的计算效率,将3.14×2~9的积背下来一样。

  对于小学生的口算乘法要求,以一、二、三重为主,兼及第四重和部分第七重。口算乘法的学习贯穿于乘法学习的整个过程。根据经验,学生对于笔算乘法的障碍也多来源于口算,要么是不能熟练、准确地应用乘法口诀,要么是对于进位乘法中的“乘加口算”不能默算。比如:78×9在计算十位时,需要心算:9×7+7,初步练习时,这一步多数学生要写下来才能完成。从某种角度上说:不存在所谓严格的笔算,世间只有口算,所谓“笔算竖式”,只不过是合理而有效的将一大堆口算组织、联合了起来。比如:78×65就可以看作是: 5×8、5×70、60×8、60×70这四步口算的组织与联合。

  小学口算除法应当是口算乘法的逆运算。因此,整数的口算乘、除法应当具备以下特点:

  1.以表内乘法及其整十、整百……数的拓展为主,此时,作为逆运算中被除数的积,要么是整十、整百……数,要么是几百几十……数;

  2.以不进位的多位数乘一位数及整十、整百……数的拓展,特殊数字乘一位数及整十、整百……数的拓展为辅。

  (重要程度★★★★★)

  对于“除数是一位数的除法”的估算,首选的方法是:

  ①除数不变,变被除数;

  ②将被除数变为最接近的整十、整百……数。

  第一条中,之所以“除数不变”,是因为除数是一位数,以后除数是多位数了,多半也还是要变的,目标也多是整十、整百……数。所以如此不确定,可以构造一例:

  713÷24≈750÷25=30

  这是将被除数与除数综合考虑了,由于“数感”良好,经验丰富,便想到了:25×3=75。若是按部就班,先变除数,再变被除数,则是:

  713÷24≈700÷20=35

  713÷24≈800÷20=40

  713÷24≈600÷20=30

  足见,没有“万能”的估算方法。反过来又说明:不要奉某一两种估算方法为圭臬,越是熟练时,就越不受限于具体的一两种估算方法,就越是倚重于估算思想的宏观指导。

  由上,估算似乎可以定义为:将不易口算、宜笔算的题目(评判标准:正确率、便捷性和计算速度),近似转化为口算,快速求得大约结果的计算。

  (重要程度★★★★★)

  回到三年级下册。

  估算:267÷3。

  由于:260<267<270,且267更接近270,给出精度在十位的估算:267÷3≈270÷3=90;

  由于:200<267<300,且267更接近300,给出精度在百位的估算:267÷3≈300÷3=100。

  道理同上。教材见于下图:

除数是一位数的除法怎样计算的(谈谈除数是一位数的除法的估算)(2)

人教三数下册29页

四、针对不同的计算模型升级估算方法

  若是只将上面的方法捧为至宝,则会轻易碰壁。

  例1:361÷5≈

  按上面的方法,有:

  精度在十位的估算:361÷5≈360÷5=?

  精度在百位的估算:361÷5≈400÷5=80

  但若是:

  361÷5≈350÷5=70

  则结果明显更优。

  估算方法升级一:用除数的乘法口诀凑被除数,百位够除凑前一位,百位不够除凑前两位。

  例2:500÷7≈

  当看到这个估算时,可爱的孩子们会说:“这道题不能估算。”若是有了“估算方法升级一”,则又可以算了。

  500÷7≈490÷7=70

  例3:896÷8≈

  例4:753÷5≈

  这时学生多会做成这样:

  896÷8≈800÷8=100

  896÷8≈720÷8=90

  753÷5≈500÷5=100

  753÷5≈450÷5=90

  而我们期望的是这样:

  896÷8≈880÷8=110

  896÷8≈888÷8=111

  753÷5≈750÷5=150

  估算方法升级二:用除数的倍数凑被除数。

  “甲数是乙数的多少倍”,这样的知识三年级上册学过,见于“倍的认识”。“甲数是乙数的倍数”,严格点,却要等到五年级下册。对于“估算方法升级二”,针对少量的个别题目,我宁愿用11、111、15、25……的口算乘法处理,提醒学生扩大积累口算乘法的经验,培养“数感”(就是一种对于数字的直观感觉,有敏感性,能快速抓住主要特点等)。

除数是一位数的除法怎样计算的(谈谈除数是一位数的除法的估算)(3)

人教三数上册50页

除数是一位数的除法怎样计算的(谈谈除数是一位数的除法的估算)(4)

人教五数下册5页

  以后,对于更多的估算,在基本方法之上,进行补丁升级,基本是一种常态。

  估算教学的挑战在于:估算方法本来多样,但成功的教学总是始于固定的估算法则;在协调“变与不变”的过程中,由方法升华到思想,潜藏于意识之中,提升数感,改善行动,则是最终的成功。

  (重要程度★★★★★)

五、基于估算过程看待估算结果

  “估算结果没有对错之分,只有好坏之分”,这几乎是一条共识。阅卷老师或许除外,他们会像我们一样,极为认同用估算的两条原则:简便、接近,去评判一种估算的好坏。

  例5:257÷3≈

  257÷3≈300÷3=100

  257÷3≈270÷3=90

  257÷3≈240÷3=80

  三种方法都对,但我们都会倾向于第二种,尤其快速、大量阅卷时。

  我也会这样做,但我依然认为,这样做在逻辑上是有缺陷的。

  事实上,多数情况下,我们无法事先确定或根本无法确定估算结果的“接近程度”。生活中,类似人口数、灯泡寿命、粮食产量、路程、瓶装药片数、饮料容量……都是具有误差的近似数。要么准确数无法获得,如全国人口数;要么准确数令人生疑,如亩产水稻813.624千克;要么以区间表示的数据更为可信,如每瓶装100片,正负差3片以内。总之,若将单纯的针对计算的估算拓展开来,类比于“估计推断”时,过程的合理比结果的评判更为重要!这一条甚至是《概率统计学》的根本特点。

  我反对将估算要求为“直接写出得数”,因为您无法确定他是否使用了极端愚蠢的“精算出结果求近似数”的方法。我认为估算必须写出估计的过程,只要过程合理,结果就是对的。

  反对写法:257÷3≈90

  推荐写法:257÷3≈270÷3=90

  基于“过程”评判时:

  257÷3≈270÷3=90,估大了;

  257÷3≈240÷3=80,估小了。

  两个估算都有价值,合并起来,准确结果在区间(80,90)之间,甚而至于折衷点取85,也未为不可。事实上:

  257÷3=85……2

  或:

  257÷3=85.6666666666……

六、联系实际问题的估算

  针对实际问题的估算中,特定的“估算方向”有时候很有用。

  仅举两例,不再细究。

  例1一年级3个班捐赠图书256册,二年级4个班捐赠图书345册,三年级5个班捐赠图书478册。哪个年级平均每班捐赠图书的册数最多?

  见于下图:

除数是一位数的除法怎样计算的(谈谈除数是一位数的除法的估算)(5)

人教三数下册32页

  若是笔算解决:

  ①一年级:256÷3=85(册)……1(册)

  ②二年级:345÷4=86(册)……1(册)

  ③三年级:478÷5=95(册)……3(册)

  ④85册<86册<95册

  答:三年级平均每班捐赠图书的册数最多。

  问题是解决了,但是由于三年级学生没有学习小数除法,第④步的比较丢掉了余数,严谨点,这也是逻辑上的缺陷。其实,教材煞费苦心,目的在于引导学生估算解决问题。

  正确的估算如下:

  ①一年级:256÷3≈270÷3=90(册),估大;

  ②二年级:345÷4≈360÷4=90(册),估大;

  ③三年级:478÷5≈450÷5=90(册),估小;

  ④一、二年级平均每班捐赠图书册数在90册以下,三年级在90册以上。

  答:三年级平均每班捐赠图书的册数最多。

  单纯作为计算时,三年级的估算应当是:

  478÷5≈500÷5=100(册)

  然而,问题的要害在于,用估算的结果进行比较大小,无异于缘木求鱼。只有用统一的估算结果加上估算方向的判断,才是可靠的。当三年级平均每班捐赠图书册数估算为100册时,“100册最多”这个结论从逻辑上就有可能是“估大”的策略造成的,反而不能肯定地加以判断。

  例2小明一家打算外出旅行1周,爸爸罗列出了每天的费用清单。交通费:82元,住宿费:230元,伙食费:180元,门票费:74元。爸爸应大概准备多少钱?

  交通费:82×7≈90×7=630(元)

  住宿费:230×7≈250×7=1750(元)

  伙食费:180×7≈200×7=1400(元)

  门票费:74×7≈80×7=560(元)

  合计:630 1750 1400 560≈700 1800 1400 600=4500(元)

  答:爸爸应大概准备4500元。

  这也算是一种可行的答案。实际生活中,根据“谨慎性原则”,支出估大,收入估小,是有道理的。

  估算的学习,是一个较长的过程,需要不断地精进。估算意识的培养,数感的形成,估算的主动运用,伴随着生活的全部过程。

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