三角函数包括复数吗（复数范围的三角函数定义）

在实数范围内我们学过的三角函数定义如下：

那么，在复数范围内如何定义三角函数呢，比如sin(i)怎么求？

先给定义：

纳尼，这个定义是什么鬼！怎么来的，有什么好处？

施主莫急，待老衲细细道来。

其实这两个定义公式来源于复数三角形式和指数形式的欧拉公式。

由于复数是实数的扩大，所以在复数集内的三角函数定义对于实数范围内的性质也应该成立。以下我们逐个验证。

两角和差公式

这样，我们就有了第一个三角函数公式

不一一证明了，大同小异。

下面求cosz，sinz的实部和虚部

哎哟，困死了。好无聊啊，我怎么会想起写这个东西，又臭又长。其实我想表达的意思是，你也可以自己给数学概念下定义，只要你的定义不违反概念的一般要求，没有矛盾即可。

比如我们曾经提过的，三角函数还可以用数列和来定义，我当然知道怎么回事，只不过不知道怎么才能写到“高中水平”的读者能够理解。