初三数学菱形的性质与判定（菱形性质与判定的灵活运用）

菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特殊性，可归纳为三个方面:(1)对边平行，四边相等;(2)对角相等，邻角互补;(3)对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.判定一个四边形是菱形，可以先判定这个四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接证明四边相等.

【题目呈现】

一，证明菱形

1.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作cE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.

(1)求证:四边形ABCD是菱形;

(2)若AB=√5，BD=2，求OE的长..

【分析】(1)由于AB∥CD，则∠CAB=∠ACD，又由于AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠CAD，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，又AD=AB，∴AB=CD，又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.

(2)∵四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，AC与BD互相平分，∵CE⊥AB，∴OE=OA，由于BD=2，则OB=1，在Rt△AOB中，可求得OA=2，∴OE=2.

2.如图，已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分別交AD，BC于点E，F，判断四边形BEDF的形状，并说明理由.

【分析】由OA=OC，OB=OD，所以四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，∵EF⊥BD，∴∠EOD=∠FOB=90°，又OB=OD，∴△EOD≌△FOB，∴ED=BF，而ED∥BF，∴四边形BEDF为平行四边形，又EF⊥BD，∴四边形BEDF为菱形.

二，求角的度数

3.如图，菱形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF的度数.

‘【分析】由于四边形ABCD是菱形，∠B=∠EAF=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=AC，∠BAC=∠EAF=60°，而∠BAE=15°，∴∠CAF=∠BAE=15°，由于AC平分∠BCD，∴∠ACF=∠ABE=60°，∴△BAE≌△CAF，∴AE=AF，又∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形，∴∠AEF=60°，而∠AEC=∠BAE ∠ABE=15° 60°=75°，∴∠CEF=∠AEC一∠AEF=75°一60°=15°.

4.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE=CF，过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数.

【分析】由于菱形四条也相等，即AB=AD=BC=CD，而CE=CF，∴BE=DF，又∠B=∠D，∴△ABE≌△ADF，∴∠FAD=∠BAE=25°，由于∠BCD=130°，∴∠B=50°，∴∠AEC=∠B ∠BAE=50° 25°=75°，∵AD∥BC，CG∥EA，∴四边形AECG是平行四边形，∴∠AGH=∠AEC=75°，∴∠AHC=∠FAD ∠AGH=25° 75°=100°.

三，求线段的长

5.如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2.

(1)若CE=1，求BC的长;

(2)求证:AM=DF ME.

【分析】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠1=∠DCA，∵∠1=∠2，∴∠2=∠DCA，∴DM=CM，∴ME⊥CD，CE=1，∴CD=2CE=2，∴BC=CD=2.

(2)由于F是BC的中点，我们想到中线倍长，延长DF，交AB的延长线于G，如图，

∵F是BC的中点，∴BC=2CF=2BF，∵CD=2CE，BC=CD，∴CE=CF，由题易知∠ECM=∠FCM，又CM=CM，∴△CEM≌△CFM，∴ME=MF，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠2=∠G，又∵∠DFC=∠GFB，CF=BF，∴△DCF≌△GBF，∴DF=GF，∵∠2=∠G，∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=GM，又∵MG=GF MF，DF=GF，ME=MF，∴AM=DF ME.

四，求面积

6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中，点过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.

(1)证明四边形ADCF是菱形;

(2)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积.

【分析】(1)∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，又E是AD的中点，∴AE=DE，而∠AEF=∠DEB，∴△AEF≌△DEB，∴AF=DB，又DB=DC，∴AF=DC，而AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC=90°，DB=DC，∴AD=DC，∴四边形ADCF是菱形.

(2)设菱形DC边上的高为h，则Rt△ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC=√(5² 4²)=√41，∴CD=BC/2=√41/2，∴h=4×5/√41=20/√41，∴菱形ADCF的面积为DC×h=10.

五.求最值

7.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上一动点，求EF BF的最小值.

【分析】本题是典型的将军饮马问题，由于菱形ABCD的对角线AC与BD互相垂直平分，所以连接DB，则点B关于AC的对称点为点D，∴DF=BF，连接DE交AC于M，连接DF，如图，

则EF BF=EF DF≥DE，只有当点F运动到点M的位置时取等号，在△ABD中，AD=AB，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，又E为AB的中点，∴DE⊥AB，∴AE=AB/2=1，∴DE=√(AD²一AE²)=√3，∴EF BF的最小值为√3.

六，解折叠问题

8.如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.

(1)求证:△BDF是等腰三角形.

(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.

①判断四边形BFDG的形状`，并说明理由;

②若AB=6，AD=8，求FG的长.

【分析】(1)由折叠知△BDC≌△BDE，∴∠DBC=∠DBE，又∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DBC=∠FDB，∴∠DBE=∠FDB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形.

(2)①，∵四边形ABCD是矩形，∴FD∥BG，∵DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形，又DF=BF，∴四边形BFDG是菱形.

②∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴BD=√(AB² AD²)=10，又∵四边形BFDG是菱形，∴GF⊥BD，FG=2OF，OB=BD/2=5，设DF=BF=x，则AF=AD一DF=8一x，在Rt△ABF中，AB² AF²=BF²，即6² (8一x)²=x²，解得x=25/4，∴FB=25/4，在Rt△FOB中，FO=√(BF²一OB²)=15/4，∴FG=2FO=15/2.

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