等腰三角形的性质定理课程（HPM视角下等腰三角形的性质课堂实录）

本文为“第三届数学文化征文比赛

HPM视角下《等腰三角形的性质》

课堂实录

作者: 陈龙

作品编号：058

一、 创设情境，引入课题

师：PPT展示如下图片。

图中的屋顶给我们什么样的几何图形的形象？

生：等腰三角形。

师：我们再来看看这块古罗马人的墓碑，同学们能猜测出墓主人的身份吗？

我听到有同学们说我们如果能翻译出墓碑上那些字母可能就可以知道墓主是谁了，很棒！其实，虽然我们看不懂他的墓志铭，但有没有同学注意到这块墓碑的顶端部分是很有特征的？（生在老师的引导下把注意力集中到墓碑的顶端）

生1：我观察到这块墓碑的顶端是一个等腰三角形和铅垂线的组合。

生2：我们可以猜测这个墓主肯定从事与几何和测量相关的工作。说不定生前他是个伟大的数学家。

师：同学们的观察力和推理能力真强！据考证，这块墓碑的主人生前是一位土地丈量员。想必，他一定深深的以自己掌握几何知识，当上土地丈量员为豪。所以，他将自己的工具铭刻在自己的墓碑上。事实上，如果我们把这块墓碑的顶端的几何图形抽象出来，就得到右边的图形。这个由一个等腰三角形和悬挂在顶点处一条铅锤线组合起来的图形。它是一种工具，叫做水准仪。是非常古老的一种工具。在我国，勤劳智慧的中国古代劳动人民同样也在就掌握了它的工作原理，并运用于生产生活的实际。工匠们在盖房子的时候，可以用它来测房梁是否水平。你们知道其中的道理吗？不懂？那你们想知道水准仪的工作原理吗？学完今天的课程就明白了！好，让我们走入今天的探索之旅，一起去探究等腰三角形的性质吧！

师：在黑板上写上课题：等腰三角形的性质

设计意图：从学生的生活实际和知识水平出发，感受生活中等腰三角形，通过古罗马的墓碑抽象出来的水准仪设问，渗透数学文化，引起学生好奇心，激发学生的求知欲和解决问题的兴趣．

二、动手操作，探索新知

师：按照以下操作，看我们能得到一个怎样的几何图形？为什么？你能说明理由吗？

生：得到等腰三角形。

生：理由是根据等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形。

师：相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角。

设计意图：让学生利用轴对称性剪出等腰三角形，复习等腰三角形的相关概念，为等腰三角形的性质探究作准备。

师：仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形有什么特征吗?

生：独立思考（师巡视指导）。

师生活动：学生独立思考后尝试着概括自己剪出的等腰三角形纸片的特征，并交流汇报。学生如果不能发现结论，或者对结论概括得不全面，教师在巡视中作如下提示：把剪出的等腰三角形纸片沿折痕对折，找出其中重合的线段和角。

设计意图：让学生首先从一个等腰三角形开始研究，发现其特殊性。

师追问：你们每个人剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状也不同，是否都具有上述所概括的特征?

师生活动：学生相互比较，小组合作交流，共同探究归纳，完成下表

对折后重合的角

对折后重合的线段

生1：我发现等腰三角形ABC关于折痕AD成轴对称。

生2：我还发现折痕就是等腰三角形的对称轴。所以沿对称轴对折，两边能完全重合，很直观就能找到重合的角和线段。

学生结论：

对折后重合的角	对折后重合的线段
∠B=∠C	AB=AC
∠ADC=∠ADB	BD=CD
∠CAD=∠BAD	AD=AD

师：由上面这些重合的角和线段，除了两腰相等外，你还能发现等腰三角形有哪些特殊的性质？大胆说出你的猜想。

生1：两个底角相等

生2：因为BD=CD，所以AD是三角形的中线。

生3：因为∠CAD=∠BAD，所以AD是三角形的顶角的角平分线。

生4：因为∠ADC=∠ADB=90^。，所以AD是三角形的底边上的高。

生5：我们经过讨论还发现等腰三角形的折痕很特殊：既是顶角的平分线，又是底边的中线和高。

师生对以上归纳进行完善，得到等腰三角形的两个性质：

性质1：等腰三角形的两个底角相等；

性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

设计意图：通过感性材料，让学生在动手操作的过程中发现等腰三角形的共同的、本质的特征，猜想归纳出三角形的性质，在这个过程中形成感性认识，重视知识形成过程，培养学生自主探究的学习方法。

师：利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性质2，对于性质1，哪位同学可以说说这个命题的题设和结论各是什么？

生：题设是：一个三角形是等腰三角形；结论是：它的两个底角相等。

师：你会画出图形，并用符号语言写出已知和求证吗？

生：已知：如图，△ABC 中，AB =AC．

求证：∠B =∠C．

师：很棒！我们学过的证明角和角相等有哪些方法？

生：两直线平行，同位角相等，内错角相等；全等。

师：结合所画的图形及刚才的操作（对折等腰三角形纸片），你想要用什么方法证明∠B=∠C？

生：取底边的中点D,连接AD,构造全等三角形。

生：我觉得可以作底边上的高，根据“HL”也能证明两个三角形全等。

生：我作的是顶角的平分线，根据“SAS”可证证明两个三角形全等。

师：三位同学的方法都正确。我们以作底边上的中线为例，请同学们说说证明的方法。

师生活动：学生独立完成。教师巡视，个别指导。

教师板演示范。

已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD=CD．

求证：∠B =∠C

证明：在 △ABD和△ACD中

∴ △ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠B =∠C

师：还有其他的方法可以证明吗？

生：三种方法

师生活动：学生板演（选取一种喜欢的方法）教师有意识选择不同方法的学生上台来板演展示。

设计意图：此处让学生经历完整的命题证明过程，会进行文字语言、符号语言、图形语言之间的转换．能从操作中发现辅助线的添加方法，体会辅助线的添加与解决问题的相关性． 同时，教师板演示范，规范学生书写格式后让学生多种方法证明，感受不同的辅助线指向相同的结果，初步感受“三线合一”为性质2的理解埋下伏笔。

师：这样我们就证明了性质（等边对等角）

由以上全等三角形证明过程，你还会得到什么结论？

生：∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90^。

师：上述三种证明方法中，所做的辅助线有什么特点？

生：都是折痕AD。

师：好！现在我们来齐读下性质

生：齐读性质

师：大家发现了什么？

生：原来性质就是性质的拓展！它们的本质都一样！证明了性质就证明了性质！

师：那如何理解“三线合一”呢？

生：如果是等腰三角形顶角平分线，那么这条线也是底边上的中线、底边上的高。

生：如果是等腰三角形底边上的中线，那么这条线也是顶角平分线、底边上的高。

生：如果是等腰三角形底边上的高，那么这条线也是底边上的中线、顶角平分线。

师：非常棒！用几何语言如何表示：（学生回答，教师板书）

①∵AB=AC，BD=CD

∴AD平分∠BAC，AD⊥BC

②∵AB=AC，AD平分∠BAC

∴BD=CD，AD⊥BC

③∵AB=AC，AD⊥BC

∴AD平分∠BAC，BD=CD

设计意图：引导学生发现等腰三角形共同的、本质的特征。并通过证明，进一步培养学生抽象概括能力和初步的逻辑推理能力；让学生真正理解“三线合一”的含义，会将“三线合一”分解成三个命题，体会等腰三角形性质2的内容实质。

三、历史回望，究根溯源

师生活动：教师PPT展示等边对等角的历史上著名的证明方法，学生欣赏品味。（以下均以PPT展示，以欣赏为主。）

师：知道吗？等腰对等角是欧几里得《几何原本》第一章第五个命题：

原命题为：“在等腰三角形中，两底角彼此相等；并且若向下延长两腰，则在底以下的两个角也彼此相等。

若用现代符号表示，该命题的陈述及证法如图所示：

设ABC是一个等腰三角形，AB=AC，延长AB，AC得BD，CE，

则∠ABC=∠ACB，∠CBD=∠CBE.

证：在BD上任取一点F，在AE上截AG=AF(命题3)，连接FC和GB，

∵AF=AG，AB=AC，∠FAG为公共角

∴△AFC≌AGB(命题4)

∴FC=GB,∠ACF=ABG,∠AFC=∠AGB.

又∵AF=AG,AB=AC

∴BF=CG

又∵∠AFC=∠AGB,FC=GB

△BFC≌△CGB(命题4)

∴∠FBC=∠GCB.∠BCF=∠CBG

又∵∠ABG=∠ACF

∴∠ABC=∠ACB

师：此命题为欧几里得《几何原本》第一章的第五个命题，也即整本著作的第五个命题。据说，中世纪时，欧洲数学水平很低，学生初读《原本》，学到第五命题“等腰三角形底角必相等”时就觉得很困难，因此这个命题被谑成为“驴桥定理”( asses’ bridge)，意思是笨蛋过不去的难关；也有人推测这个名字来源于欧几里得的作图，很像最简单的木桁架桥。

师 ：除了欧几里得，历史上还有众多名家对等腰对等角进行了研究。等腰对等角还有其它多种证法，我们一同来欣赏下历史上那些数学大咖们的风采吧。

帕普斯证法欣赏

帕普斯( Pappus，公元300-350前后)：古希腊数学家，公元4世纪。

曾对“等腰对等角”进行过证明，其证明方法很巧妙，将△ABC看作两个三角形，一个是△ABC，另一个是翻折后的△ACB。

∵AB=AC，AC=AB，∠BAC=∠CAB，

∴△ABC≌△ACB(SAS)，

∴∠ABC=∠ACB。

普罗克拉斯证法欣赏

普罗克拉斯：( Proclus，公元410-公元485) 公元5世纪。也曾对“等边对等角”进行过证明(图2)，他的证明方法与欧几里得类似，也是利用三角形全等的“边角边”判定方法，但普罗克拉斯不通过延长两腰AB和AC，而是直接在两腰AB和AC上取点E和点D使得AE=AD，然后联结EC、DB，类似地，再利用“边角边”两次证明三角形全等。

设计意图：了解数学史，渗透数学文化，感受数学课的人文精神和教育价值，借此激发学生学习的兴趣和热情。

四、运用新知，解决问题

师：现在你能解释水准仪是怎么帮助工匠们测房梁是否水平？

生：把当铅锤线经过底边中点时，房梁是水平的．

师：为什么？以谁为参照呢？

生：以水平线为参照物，我们可以从这个实际问题中抽象出如上图所示的数学模型。所以本题就转化成求证BC平行于直线l，利用等腰三角形的性质2，就搞定了。

师：真棒！水准仪是非常古老的物件，事实上，至今，世界上很多地方仍然在使用它。它的工作原理就是我们今天所学的等腰三角形的“三线合一”。我国古代劳动人民真的是勤劳而智慧的。

设计意图：学以致用，介绍历史上水准仪的用途，一方面呼应课堂的引入，另一方面让学生感受等腰三角形的性质在生活实际中的应用，体会数学来自生活，又服务于生活的新课标理念。同时，感受我国古代劳动人民的智慧，提升文化自信和民族自豪感。

五、课堂练习，能力提升

1．已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80°。求∠C和∠A的度数。

师：这里∠B是---？

生：△ABC的底角？

师：怎么知道的？

生1：已知条件

生2：画出图形，一看就知道。

学生独立完成。

变式训练：

（1）已知，在等腰△ABC中，∠B=80°，求∠C和∠A的度数。

师：这道题与上题的区别在哪里？

生：没有告诉我们∠B是顶角还是底角，需要分类讨论。（让学生尝试独立完成，再集体讲评，指导学生可以自己画图帮助理解。）

已知，在等腰△ABC中，∠B=100°，求∠C和∠A的度数。

师：这道题需要讨论吗？为什么？

生：不需要，因为底角不会超过90°

生：独立完成。

总结：等腰三角形中，知道任意一个角的度数，可求另外两个。当已知条件没有明确给出的角是锐角且不知道是顶角还是底角时，需分类讨论.

2．如图，已知AB=AC，AD是△ABC的中线，∠B = 50°，则∠BAD = ．

生：利用三线合一，可知，AD还是△ABC的高。

设计意图：通过典型例题的变式，培养学生的发散性思维，渗透分类讨论的数学思想。教师通过适当的“引”，来启发学生主动地“探”，使师生双边活动产生“共振”，和谐发展。

六、归纳小结， 拓展提升

师：同学们，本节课有什么收获呢？

生1：等腰三角形的性质有：“等边对等角”、“三线合一”

生2：我觉得数学知识经常通过动手操作得出来。

生3：了解了数学史上那么多数学家对等腰三角形性质的探索和证明，大开眼界！

生4：还知道了水准仪的工作原理，感觉自己棒棒哒！

……

七．分层作业，巩固提升

（1）A组：

1. 在等腰△ABC中，∠A=60°，求∠C和∠B的度数。

2.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BE=3，求CF的长

设计意图：性质1，2的简单应用，更好地理解性质,夯实基础。同时，为下一节，研究等边三角形留下伏笔。（全班都要完成。）

B组

1．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，且AD＝4，BC＝6，若点P在边AC上移动，求 BP的最小值．

设计意图：性质2的简单应用，在A组的基础上略有提升拓展，帮助学生。（供中等以上层次的学生选做。）

C组.变式：

证明：底边上到两条腰距离相等的点在顶角的平分线所在的直线上.

设计意图：本节课学生刚接触文字证明题,对三种语言之间的转化还不是非常熟练,因此设置这道题,既巩固了文字证明题的解题方法,也是对练习的拓展与变式.供学有余力学生选做。

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