高数所能解决的实际问题（一个虚数i）

要追溯虚数是如何出现，可以从实数出现的过程得到一些启发。我们知道，实数包括理数和无理数，有理数出现的非常早，它是伴随人们的生产实践而产生的。而无理数的出现也是一段曲折故事。

首先我们先看一个无理数画法：

根号2的画法：

根号5的画法：

公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希勃索斯发现了一个“不存在”的数字，若一个正方形边长为1，那么这个正方形的对角线是无法用有理数表示出来的。

希勃索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明数轴上点并不都是有理数，在数轴上存在着不能用有理数表示的“缺陷”。这一问题出现与当时毕达哥拉斯学派“万物皆为数”(指有理数)的思想产生极大冲突。使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。

无理数的出现，引起当时很多人的恐慌。而勾股定理却说明了存在着“不可通约”的线段。

不可通约线段的存在，使古希腊的数学家感到左右为难，因为他们的学说中只有整数和分数的概念，他们不能完全表示正方形对角线与边长的比，也就是说，在他们那里，正方形对角线与边长的比不能用任何“数”来表示。

15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。

随着数学不断发展，使人们对有理数和这类”缺陷“数有更深入认识，人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把这类数称之为“无理数”——这便是“无理数”的由来。

随着社会不断进步，人们发现扩充了无理数的实数，也不能解决代数方程的求解问题。像x² 1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解。

12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两个，一个正数和一个负数；负数没有平方根，因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负数平方根的存在。

16世纪意大利米兰学者卡尔达诺在1545年发表的《重要的艺术》一书中，

公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成如下形式：

尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。

之后法国数学家笛卡尔给出“虚数”这一名称，他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。

因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。

如图:，复数平面1：

复数平面2：

数系中虚数的出现，引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。

法国数学家达朗贝尔在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是a bi的形式（a、b都是实数）。

法国数学家棣莫弗在1722年发现了著名的棣莫佛定理。

欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。

“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。

挪威的测量学家韦塞尔在1797年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。

18世纪末，复数渐渐被大多数人接受，当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。数年后，高斯再提出此观点并大力推广，复数的研究开始高速发展。诧异的是，早于1685年约翰·沃利斯已经在De Algebra tractatus提出此一观点。

卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy上，以当今标准来看，也是相当清楚和完备。他又考虑球体，得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。

1804年，Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点，即以来表示平面上与实轴垂直的单位线段。

1806年，Buée的文章正式刊出，同年让-罗贝尔·阿尔冈亦发表同类文章，而阿冈的复平面成了标准。

德国数学家阿甘得在1806年公布了复数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，复数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数 。象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。

1831年高斯认为复数不够普及，次年他发表了一篇备忘录，奠定复数在数学的地位。高斯用实数组代表复数 ，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

复数吸引了著名数学家的注意，包括库默尔（1844年）、克罗内克（1845年）、Scheffler（1845年、1851年、1880年）、Bellavitis（1835年、1852年）、乔治·皮库克（1845年）及德·摩根（1849年）。莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文，约翰·彼得·狄利克雷将很多实数概念，例如素数，推广至复数。

经过许多数学家长期不懈的努力，从无理数到实数，从虚数到复数，无理数并非“无理”，虚数并非“虚”，从而实数集才扩充到了复数集，最终发展了复数理论。

随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义。如复数在电学中应用十分广泛，电学中有一个概念叫阻抗，它对交流电有阻碍作用。但阻抗并非完全是电阻，它是由电阻和电抗两部分组成。电阻用实数来表示，电抗必须用虚数来表示。它们合在一块儿就成为一个复数表达式。

而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用；在研究火箭发射、原子弹的计算、生产CPU晶圆的产出率计算时候都需要用到复数；在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。