数的运算六年级复习(中学生课外读物数的产生与发展)

《数的产生与发展》(至整数的加减法止)

彭彤彬

数产生自人类的生活、生产等实践之中,它是自然客观存在的一个方面在人脑中的反映。

后由于对客观自然认识的不断加深,随着数学理论的发展,不断产生了新数,促使了数的概念不断发展。

至今数的发展及数的理论已经较为完备。

基于数发展起来的理论称为数学。

随着现实科学的不断发展,人类不断将数的有关理论加以抽象深化或赋予新的含义,发展起了数学的现代各分支,它们就是高深难懂的高等数学。

本小册子主要按逻辑发展顺序讲述数的起源和发展,因为按数的实际发展历史来讲会显得杂乱,让人看不到其中的脉络,而抓不住数及其理论蕴涵的本质。

让我们从中了解数的发展历程,及其演化方向,让我的懂得数是数学及其各分支的基础,从而明确数的重要性。

一、自然数

1.自然数的概念

人类生存在这个世界上,时时处处需要与客观物体打交道。

早期人类需要对人员、物品计数,并比较它们的多少,就产生了自然数。

一群人有几个?1人,2人,3人,4人,…,10人,….

一堆桃子有多少个?1个,2个,3个,…,10个,…

一个人有几个手?1个,2个。

一个人有几个手指?1个,2个,…,10个。

一个部落中有几个家庭?

每个家各有多少人?

射杀一头野猪用了多少支箭?

一月有多少天?一年有多少月?一年有多少天?

人们在生活、生产中,为了计算事物的多少,便产生了数(动词)数(名词),通过数数,最终产生了正整数:1,2,3,…,n,…

若“没有”某物体,人们就称这个物体有“0”个。

所以最早0的意义等同于无。

1,2,3,4,n,…称作正整数。由所有正整数组成的整体,我们称为正整数集,常用N+(+在N的右下角)来表示。

正整数加入0后,得到:0,1,2,3,…,n,…统称为自然数。由所有自然数组成的整体,我们称为自然数集,常用N来表示。

2.自然数的加法

(1)加法定义:

由上可见,由于实际需要,产生了自然数。但我们要知道,更是由于需要产生了自然数的运算。

一个人有3个桃子,另一个人又送了他2个,那么这个人共有几个桃子?

3+2=5。

4个人各打3只、2只、0只、8只野兔,它们一共打了几只野兔?

3+2+0十8=13。

你有10个手指,我有10个手指,他有10个手指,我们三人共有多少手指?

10+10+10=30。

就这样自然而然地产生了自然数的加法运算。

两个自然数a,b按上面规则相加,即一堆a个物体,另一堆b个物体,将两堆放在一起,变成一堆,这一堆有多少个物体?得到的结果称为a与b的和,记为a+b。

求两自然数和的过程叫做加法运算。

类似可得三个数或更多数的和式,求这些数的和都称为做加法运算。

如:10820+3500=14320,

3300+5702+8673+1053402

=9002十8673+1053402

=17675+1053402

=1071075。

(2)加法的性质:

人们通过不断地做加法去求数的和的实验,明白了自然数有下列性质:

0是最小的自然数。

0表示无。

0+0=0,

0=0 0+0,

0=0 0 0 0 0,

0=0 0 0 0 …+0。

即任意多个0相加均为0。

0+a=a+0=a。即0与任何自然数相加,或任何自然数加0,均等于这个自然数。

1是一个很特殊的自然数,有了它,就可以用加法得到除0、1外的所有自然数。即:

2=1+1,

3=1+1 1,

4=1+1 +1 1,

5=1+1 +1 1+1,

10=10个1的和,

1000=1000个1的和,

一般地:

自然数n=n个自然数1的和。

由上知道,0,1两个自然数,它俩是很特殊、作用很大、属性相反的自然数。

0表示无,任意个0相加均为0,不可能和为1,即无中不能生个有。

1表示有,n个1的和就等于n,即1生成了所有表示“有”的自然数。

但无论多少个1的和,不可能等于0。即“有”是客观存在的,是不可能消失。自然数n可以拆分成n个1的和,表明再大的数,不论你怎么去分割它,它的每一份再小,也是有,不可能变成0。

所谓的“无中生有”,“变有为无”,在客观世界中是不存在的。

物质不灭吗,一种物质可以改变存在形式,但不会消失,也不会没有任何物质,你把它创造出来。

这个物质客观存在性,反映在数学中也是不存在的。

要想“无中生有”,“变有为无”,那只能存在于“幻想”的魔法里面,或各种神话之中。如上帝创造万物,大变活人等。

有与没有,属性相反,差异很大,无与有由加法不能联系沟通上,但“有”,只是量级上的差异,有多有少,但总可以表示成1的和。

自然数a+1是比自然数a大且最接近a的自然数,即两个自然数a与a+1之间无其它自然数。我们称它们为相邻的自然数。

3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,亦称为连续相邻的13个自然数。

从自然数m开始下列一组数:m,m+1,m+2,m+3,…,m+n-1,称为连续的n个自然数。

从2n+1开始的连续n个自然数为:2n+1,2n+2,2n+3,…,2n+(n-1),3n。

从0开始,每次加1可得一个新的自然数,将得到的自然数再加1,又得到一个新自然数,这样一直加下去,可得到所有的自然数。

即:0,0+1=1,1 1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,5+1=6,6+1=7,7+1=8,8+1=9,9+1=10,10+1=11,11+1=12,……

我们发现,所有的自然数是数不完,是写不完的,它不是有限个,我们称它为无数多个,常记为+∞,读作正无穷大。

可以知道,+∞比任一个自然数都大。

显然有:0<1<2<3<4<5<6<7<8<9<10<11<12<…<100<101<102<…<999<1000<1001<1002<…

在做加法时,我们可以发现一个重要的性质:

任两个自然数的和仍是自然数。即若a,b是自然数,则a+b仍是自然数。

人们称这个现象为自然数关于加法是封闭的,或自然数具有加法封闭性。

现在我们记为:

若a∈N,b∈N,则a+b∈N。读作若a是集N的元素,b是集N的元素,则a+b也是N的元素。

(3)加法的运算律:

加法运算遵从的运算律如下:

①两个自然数求和时,不管哪个在前面,和值一样。

我们称这个现象为:自然数的加法满足交换性。

现在记法为:a+b=b a.

②多个自然数相加,不管是三个或更多个,先加哪两个,后加哪两人个,最终总和值相等。

我们称这种现象为:自然数加法满足结合律。

现在记法为: (a+b)+c=a (b+c)=a+b+c。

由于自然数加法满足交换律和结合律,所以一些自然数相加,我们可将要加的某些自然数交换并给合在一起先加,然后再接下去作至求出总和来。

这就是我们求和使用一些技巧的依据。

如:3+5+7+55+21+39

=(3+7)+(5+55)+(21+39)

=10+60+60=130。

如:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+10)

=10十10+10+10+15

=55。

提问:

①1+2+3+…+100=?

②11+12+13+14+…+199=?

③1+2+3+…+n=?

④n+(n+1)+(n+2)+…+(2n-1)+2n=?

3.自然数的减法

(1)自然数减法概念

人的在生活,生产中常遇到下列问题:

你有10个桃子,你给了5个你妈妈,你还剩几个?

10-5=5个。

一群人有12个,走了6个去打猎,3个去寻柴禾,剩余的人打扫卫生,问打扫卫生的几人?

12-6-3=3人。

某月有30天,已经过了17天,本月还有多少天?

30-17=13天。

你昨天剩余有5个鸡蛋,今天鸡下了5个,你家人吃了3个,你家今天有几个鸡蛋放到明天?

5+5-3=7。

如此的问题众多,举不胜举。由这样的问题产生了自然数的减法。

自然数的减法就是从一个自然数中,去掉一个较小(或之相等)的自然数,剩余多少?求剩结果叫做做减法运算。

现在记法:自然数a减去自然数b记为a一b,所得结果称为a与b的差,其中a叫做被减数,b叫做减数。

(2)自然数减法性质

在做减法的过程中,人们发现:

1-1=0,2-2=0,3-3=0,4-4=0,5-5=0,6-6=0,…,n-n=0,…

即你收入几个某物,再给出相等的几个某物后,你手中就没有了这个物体。

可见,作减法,可以让有变成无。这个无是你这里的,曾有的东西并没有消失,只是转移到别处了。

在做减法的过程中,人们发现:1-2,5-8,189-321,0-54360001,这样的式子在自然数中是不能进行,是没有结果的。

即自然数的诚法是不封闭的,或说自然数减法不具备封闭性。

这与自然数加法是封闭的结论不同。

现在记为:若a∈N,b∈N,则a-b∈N有对有错,所以这个数学结论不成立。读作:若a是自然数,b是自然数,则差a-b不一定是自然数。若a≥b,a-b是自然数,若a<b,则a-b不是自然数,这时被减数小了,不够减。

在做减法的过程中,人们发现:

10-7=(3+7)-7=3,

58-17=(41+17)-17=41,

103-78=(25+78)-78=25,

310-205=(105+205)-205=105,

归纳一下,就是:若a+b=c,则c-a=a+b-a=b,c-b=a+b-b=a。

即若求两数之差,可先将被减数拆分成一数与减数之和,则差就等于这个数。

所以自然数减法,就是自然数加法的变形,是自然数加法的逆过程,我们称它为自然数加法的逆运算。

常把这一过程如下写出:要求a-b,设a-b=x,则需找x使x+b=a,所以若a=b+c,则x=a-b=c+b-b=c。

我们知道做含加减法的混合运算时,先算括号里面的,后算括号外面的。

如(33-17)+(5 17)-(22-15)

=16+22-7

=38-7

=31

在含有括号的混合运算中,人们发现:

如:13-(8 2)=13-8-2(=3),

27-(18 9)=27-18-9(=0),

55-(33 7)=55-33-7(=15)。

一般地有:c-(a+b)=c-a-b。

如:13-(8-2)=13-8+2(=7),

27-(18-9)=27-18 9(=18),

55-(33-7)=55-33+7(=29)。

一般地有:c-(a-b)=c-a+b。

又加上由加法满足结合律知:a+(b+c)=a+b+c。

总结前面三式,可得到去括号法则:

若括号前为+号,将括号去掉,括号里各数不变号,若括号前为-号,将括号去掉,括号里各数都改变符号。

在含有多重括号的时候,先算最里面层内的,然后算最里面向外数第二层内的,依次类推,最后算最外面一层括号外的。

如:13-(((5+3)-7)-1)-5

=13-((8-7)-1)-5

=13-(1-1)-5

=13-0-5

=13-5

=8

有多重括号的运算式子,可先去括号,再行计算。

可依次从外层向里层去括号,去每层括号时,都遵从去括号法则,将括号去完后,再进行加减运算,最终得出结果。

当然也可从最里层向外层依次去掉每层的括号后再计算。

如:33-((25+3)-(7-5))+5

=33-(25+3)+(7-5)+5=33-25-3 7-5 5

=8-3 7-5 5

=5 7-5 5

=12。

或33-((25+3)-(7-5))+5

=33-(25 3-7 5) 5

=33-25-3 7-5 5

=12。

4.自然数的乘法

(1)自然数乘法概念:

人们在生活、生产中还会遇到下列问题:

每个人有2只手,那么5个人共几只手?

2+2+2+2+2=2×5=10。

每个人有10个手指,那么27个人共有多少 个手指?

10+10+10+…+10=27个10的和=10×27=270。

每个人的一只手有5个手指,每个手指有3个关节,哪么一只手共有多少个关节?

3+3+3+3+3=3×5=15。

一般来说,若a,b均是自然数,那么b个a是多少?

a+a+…+a=b个a的和=b×a=ba。

若a,b均是自然数,那么a个 b是多少?

b+b+…+b=a个b的和=a×b=ab。

一般地,求两个自然数a,b之和ab或ba的运算过程叫乘法,ab或ba的值称为a与b的积,或b与a的积。

可以看出乘法就是多个相同数的加法,ab或ba只是加法的一种简便记法。

显然有:

0+0+…+0=n个0的积=0×n=0。

我们也定义0个n和=n×0=0。

即0×n=n×0=0。

人们为了计算乘法,发明了九九乘法表,可直接计算个位数的乘法。

即:一一得一。

一二得二,二二得四。

一三得三,二三得六,三三得九。

一四得四,二四得八,三四一十二,四四一十六。

一九得九,二九一十八,三九二十七,四九三十六,五九四十五,六九五十四,七九六十三,八九七十二,九九八十一。

为了进行多位数的乘法,人们发明了竖式算法。

如:35×21=?

列竖式为:

数的运算六年级复习(中学生课外读物数的产生与发展)(1)

由上可得:35×21=735。

如:3249×327=?

数的运算六年级复习(中学生课外读物数的产生与发展)(2)

可得:3249×327=1062423。

弄清了乘法的含义及运算方法,人们便可很容易地得到两自然数数的积。

(2)自然数乘法的性质:

人类在不断求自然数积的实践中,总结出了下列结论:

0×0×0×…×0=n×0=0×n=0。

1×1×…×1=任意个1相乘=1。

n×1=1×n=n。

若自然数a,b满足a=nb(其中n是一个自然数),则称a是b的n倍。

如:因15=5×3=3×5=15×1=1×15,所以15为5的3倍,是3的5倍,是15的1倍,是1的15倍。

如:3的33倍=3×33=99=9×11=9的11倍=11x9=11的9倍。

若一个自然数是另一个自然数的2倍,则称这个自然数为偶数,所有的偶自然数放在一起组织一个整体,叫偶自然数集。除掉偶自然数的所有其它自然数称为奇数,所有的奇自然数组成一个奇自然数集。

所以自然数集,可以由奇偶性分成两个无公共元素的集合:偶自然数集,奇自然数集。

显然,0,2,4,6,8,10,12,…,20000,20002,20004,…均为偶数。

1,3,5,7,9,11,13,15,…,87,89,91,…均为奇数。

人们通过乘法运算知道了,自然数与自然数的积仍为自然数。

我们称这个结论为自然数乘法具有封闭性。

现在写成:若a∈N,b∈N,则ab∈N,ba∈N。读作若a,b是自然数,则积ab,ba都是自然数。

(3)自然数乘法的运算律:

自然数乘法满足交换律。即:ab=ba,如:3x2=2x3,38×23=23×38。

自然数乘法满足结合律。

即:a(bc)=(ab)c。

如:(3x2)x4=3x(2x4),

85×(22×5)=(85×22)×5。

另外还多一个运算律:自然数乘法对加法具有分配律。

即:a(b+c)=ab+ac。

如3×(2+6)=3×2 3×6,

121×(53+77)=121×53+121×77。

由运算侓,有时候能让我们简化运算。

如:357×5×22

=357×110

=357×(100+10)

=357×100+357×10

=35700+3570

=38270。

如:

(3308-1256-1944)×252

=(3308-1200-2000)×252

=108×252

=(100+8)×252

=25200+8×250+16

=25200+2000+16

=27216。

5.自然数的除法

(1)自然数除法的概念

有了自然数乘法知识后,人们在思考分配问题时,就有了方法。如:有15个桃子,平均分发给5个人,每人多少个?

因3=3x5,可推出每人3个。我们记为:15÷5=3×5÷5=3。

现有12000斤谷子,平均分给40辆独轮车运去某地,每辆独轮车需运多少斤?

因12000=300×40,所以每辆独轮车需运300斤。现在记为:12000÷40=300×40÷40=300。

一般地,若某自然数m,可以写成另两自然数a、b的积ab,则将m平分为b份,每份有a个。我们记为:m÷b=ab÷b=a。同样道理有m÷a=ab÷a=ba÷a=b。

m÷a读作m除以a,其中m叫被除数,a叫除数。m÷b读作m除以b,其中m为被除数,b除数。÷为除号。

m÷a的结果叫商,求商的过程叫除法运算,或叫做除法。

可以看出,要求两自然数的商,需要先将被除数拆分成两自然数之积,即是先作乘法,然后得到商的。故我们称自然数的除法是它们乘法的逆运算。

做除法,若按定义做是不方便甚至困难的。

为了计算除法得到商,人们发明了一种直接算法:竖式除法。

如:9361÷407=?

解:列竖式计算如下:

数的运算六年级复习(中学生课外读物数的产生与发展)(3)

可得:9361÷407=23。

如:123456÷643=?

解:列竖式计算如下:

数的运算六年级复习(中学生课外读物数的产生与发展)(4)

可得:123456÷643=192。

任何两个非零自然数的商均可用竖式计算出来。

(2)自然数除法的性质

显然:0÷m=0,m÷1=m,m÷m=1(其中除数m≠0)。

我们规定:m÷0无意义。即做除法时,除数不能为0。即0÷0,1÷0,2÷0,99÷0,1025÷0均无意义。

因为我们找不到一个自然数a,使1025=a×0,所以1025÷0=a×0÷0=a中的a找不到,也就是不存在。

这是我们以后要注意的,除数不能为0。

在做除法的过程中,人们会发现不是任两个自然数的商都是自然数,并且存在大量的两自然数之商不是自然数。如:1÷2,1÷3,1÷4,3÷2,5÷2,7÷2,7÷3,7÷4,7÷5,7÷6,7÷8,7÷9,7÷10,商都不是一个自然数。即:自然数除法不具有封闭性。

现在记为:若a∈N,b∈N,则a÷b∈N可能对,可能不对,在数学上就不对,结论就不成立。

这是与自然数乘法是封闭的结论是不同的,应引起我们的注意。

6.关于自然数及其运算小结

由前面我们知道,自然数中0与1是两个非常特殊的。

0+0=0-0=0×0=0。

0÷0无意义,m÷0无意义。

a+0=a-0=a,

a×0=0,

a-a=0,

0÷m=0(其中m≠0)。

0=1-1,

1=1+0=0+1=1×1=1÷1,

a=1+1+1+1+…+1=a个1的和(a为大于1的自然数)。

两个自然数a与a+1之间无自然数,a<a+1。

a×1=1×a=a÷1=a。

a÷a=1(a≠0)。

自然数可以进行加、减、乘、除四则运算。它们各有实际意义,且在数学理论上是互相联系的,其中减、乘、除都直接或间接来自加法,可见自然数加法的基础性。

自然数减法是加法的逆运算。自然数除法是乘法的逆运算。自然数乘法是特殊形式加法后的简化形式。

自然数加法,乘法都具有封闭性,但自然数减法,除法不具备封闭性。

自然数四则混合运算中,先算括号里面的,后算括号外面的。无括号时,先算乘除,后算加减,一个无括号式中既有乘又有除时,按左先右后既先出现的先算。无括号只有加减的式中,先后计算顺序可随便,能算就行。

如:

3+(6÷2x5-7)-5×10÷2÷5

=3+(3×5-7)-50÷2÷5

=3+(15-7)-25÷5

=3+8-5

=11-5(或=3+3)

=6。

当然,对含括号的自然数四则运算式子,可按去括号法则,先去括号再行计算,不过一定要注意,只用×和÷号连接的式子应看成一个数。

如45-(3 56÷7×2-10)+3×(81÷27)

=45-3-56÷7×2+10+3×3

=45-8×2+10+9

=45-16+19

=45+3

=48。

由于自然数加法与乘法,满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律,我们可以运用来正确计算或算化计算,故要熟练掌握。

总之,自然数的知识来源于0、1及加法。抓住根本,可以从头到尾一推到底。

二、整数

1.负整数和整数的概念

有了自然数这个好基础,我们再从它出发,突破它的限制,获取新的数“负整数”,从而可以得到所有的整数。

在对自然数的学习中,我们知道自然数对减法不具备封备性。即一个自数减去一个自然数,可能等于一个自然数,也可能出现不够减的情况。这种现家在日常生活、生产中经常出现。如:

我有20个西瓜,卖出去了15个,还存有有几个西瓜?

答:20-15=5(个)。

若我有20个西瓜,但某买家一下子要买25个,交易完成后,是个什么状况?

答:20-25=欠买家5(个)。

一种情况是手中存有5个,一种情况是倒欠人家5个。

把两种情况综合起来看,若第一天存有5个,第二天欠人家5个,可以将第一天存的5个给人家,这样既不欠别人的,手中西瓜也卖完了,手中恰好有西瓜0个。

即:(存5)+(欠5)=0(个〉。

一家中,盘中有30颗葡萄,晚上2个家人每人吃10颗,还有多少颗?

答:30-20=10(颗)即剩余10颗。

另一家中,盘中有30颗葡萄,晚上4个家人每人计划吃10颗,会出现什么情况?

答:30-40=欠10(颗)即差10颗。

两个家庭综合起来看有:(余10)+(欠10)=0。

一个水库前天水位深32米,昨天放水,致水位一天降了2米,今天早晨开始下雨致水位一天涨了2米,问经过这两天水位有什么变化?

答:两天水位变化为(30-32)+(32-30)=(降2)+(升2)=0。

由上面例子,我们可以看出,世界上存在两个数值相等,但属性恰好相反的成对的量。

其实这样的成对的量是大量存在的。如:在银行存一万元与取一万元,做了1000套房子与卖了1000套房子,挖了18米深的坑与将坑填了18米厚的土石。举不胜举。

一般地,我们将数值相同,都为a,但属性相反的两个量叫做互为相反数。规定其中一个值为+a,读作正a,称为正数,简记为a;另一个值则记为-a,读作负a,称为负数。

由前知所有的自然数,是零和正数。

由上知a+(-a)=0,我们称a与-a互为相反数。即一对相反数的和为0。如:

5与-5互为相反数,5+(-5)=0,

10与-10互为相反数,10+(-10)=0,

2与-2互为相反数,2+(-2)=0,

10000与-10000互为相反数,10000+(-10000)=0,

1000与-1000互为相反数,1000+(-1000)=0,

18与-18互为相反数,18+(-18)=0。

由上,可获得前述问题中下列意义和记法:

西瓜问题中20-15=(存5)=+5=5,而20-25=(欠5)=-5。

葡萄问题中30-20=(余10)=+10=10,30-40=(欠10)=-10。

水位问题中30-32=(降2)=-2,32-30=(升2)=+2=2。

存款问题中(存10000)=+10000=10000=取(-10000),取10000=存(-10000)。

建房问题中(建1000)=1000时,(卖1000)=-1000。

挖坑中挖了18=+18,填18=-18=(挖-18)。

注意前面多一个负号,意义反一次,所以有:挖18米=填(-18米),挖(-18米)=填18米,挖(-(-18))米=填(-18)米=挖18米。

取10元=存(-10)元,存10元=取(-10)元,取(-(-10))元=存(-10)元=取10元。

即有-(-18)=18,-(-10)=10。

这就是∵18+(-18)=0,10+(-10)=0,

∴18与-18互为相反数,10与-10互为相反数,

∴(-18)=-(18),18=-(-18)。

(-10)=-(10),-(-10)=10。

一般地有-(-a)=a。

由上可得:正数的相反数是负数,负数的相反数为正数,0的相反数为0。

一个数的相反数的相反数等于它本身。

要注意理解哟。

这样一来,原来有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…,999,1000,1001,…这些自然数,现在每个正数都生出了一个新数,就是它的相反数。所以出现了一系列新数:

-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10,…,-999,-1000,-1001,…

这些数称为负整数,与原有的0和正整数一起,组成整数。

整数包括正整数,0,负整数三部分。整数有无数多个。

所有的整数组成的集合叫整数集,常记为Z。显然:

3∈Z,2∈Z,1∈Z,0∈Z,-1∈Z,-2∈Z,

-3∈Z,-4∈Z,-5∈Z,

-2345∈Z,-876054∈Z。

而因N表示自然数,

∴-4∈N,-5∈N,-2345∈N,-876054∈N都是不成立的。

你想想:欠别人的钱越多,自己的财富越少,水位下降的越大,水位就越低。

所以我们自然而然可以理解以下规定的合理性:

负整数<0<正整数,具体有:

…<-20001<-20000<-19999<-19888<…<-101<-100<-99<-98<…<-5<-4<-3<-2<-1<0<1<2<…

由上述实际意义我们还较易理解下列式子:

-20001+1=-20000,

-20000+1=-19999,

-19999+1=-19998,

-5+1=-4,-4+1=-3,

-3+1=-2,-2+1=-1,

-1+1=0,0+1=1,

1+1=2,…

当然也有:

2-1=1,1-1=0,

0-1=-1,-1-1=-2,

-2-1=-3,-3-1=-4,

…,-999-1=-1000,

-1000-1=-1001,…

2.整数的加法

由于整数包括自然数和负整数,而自然数已有加法定义、加法性质及运算律,现在加进了负整数后,又如何相加?

这里面涉及负整数与负整数,负整数与自然数如何相加的问题,相加的含义是什么?

弄清相加含义和方法后,它们仍然满足自然数中加法性质和运算律吗?会不会出现哪些不同的?

先看负整数与负整数之间相加的含义:

我手中无钱,先欠你10元,又向你借了10元,问合起来我手中一共有多少钱?

显然:我手中无钱,并欠你20元。这可用数式记为(-10)+(-10)=-20。

由于连续干旱,农田用水增加,加上人蓄饮用水不停,供水水库这两天水位连续下降,昨天降了2米,今天又降了3米,问这两天水库水位一共升了多少米?

显然共降了5米,即上升了-5米。用数式写为:(-2)+(-3)=-5。

一般地,可得a,b是两个正整数时,(-a) (-b)=-(a+b)。

这就是说,两个负整数相加,符号仍为负号,再把它们的相反数相加。

所以两个负整数之和仍是负整数,且这个负整数比两个加数均小。如(-2)+(-3)=-5中

-2>-5,-3>-5。

这就得到了两个负整数的和的含义及计算方法。

由于先欠你2元,后欠你3元,与先欠你3元,后欠你2元,实际结果都是欠你5元。用式子表示为:

(-2)+(-3)=(-3)+(-2)=-5。

由于水位先降8米,后降10米,与先降10米,后降8米,都是共降18米。用式子表示为:

(-8)+(-10)=(-10)+(-8)=-18。

一般地有:可得a,b是两个正整数时,

∵(-a) (-b)=-(a+b),(-b) (-a)=-(b+a)=-(a+b),

∴(-a) (-b)=(-b) (-a)。

即两个负整数的和满足交换。

由于我若三次分别借了你5元,8元,13元,不管顺序如何,实际上都欠你26元。

用数式表示为:

((-5) (-8))+(-13)

=(-5)+((-8) (-13))

=-26

一般有:a,b,c是两个正整数时,

∵((-a) (-b))+(-c)

=(-(a+b))+(-c)

=-(a+b+c)

(-a) ((-b)+(-c))

=(-a)+(-(b+c))

=-(a+b+c)

∴((-a) (-b))+(-c)

=(-a) ((-b)+(-c))

可见,负整数的加法仍然满足结合律。

还有负整数与自然数的加法呢?

先说负整数与0的加法吧。

第一次我没找你借钱,第二次我找你借了5元钱时,0+(-5)=-5。

第一次我找你借了5元钱,第二次我没找你钱时,(-5)+0=-5。

可见负整数与0的和仍然是这个负整数,且负整数与0的和与顺序无关,即仍然满足交换律。

可让负整数与0的和也满足结合律。请自证。

那负整数与正整数的和含义与计算方法又是怎么样的呢?

我买了3个面包,吃了2个,还有几个面包?

答:手中还有3+(-2)=+(3-2)=1个面包。

我买了2个面包,但吃3个才能吃饱,我要吃饱,应怎么办?

答:手中还有2+(-3)=-(3-2)=-1个面包,即还需买一个面包才行。

我买了2个面包,现吃了2个,我手中有几个面包?

答:手中还有2+(-2)=+(2-2)=0个面包,即没有面包。

一般地有:

互为相反数的两数和为0,即a为正整数时,a+(-a)=0。

若负整数的相反数比正整数小,则它们的和为一个正数,只需要将正整数减去负整数的相反数。如:

(-350) 400

=+(400-350)

=50。

若负整数的相反数比正整数大,则它们的和为一个负数,和值需先写一个负号,再写上用负整数的相反数减去正整数得到的差数。如:

(-400) 350

=-(400-350)

=-50。

用式子表示为:

设a,b是两个正整数,则:

当a=b时,(-a)+b=0,

当a<b时,(-a)+b=+(b-a),

当a>b时,(-a)+b=-(a-b)。

由上面定义知:

a,b是两个正整数,则:

当a=b时,b+(-a)=0,

当a<b时,b+(-a)=+(b-a),

当a>b时,b+(-a)=-(a-b)。

比较结论可知:a,b为正整数时,均有

(-a)+b=b+(-a)

所以,正整数与负整数的和满足交换律。

由实际意义可知正、负整数的和满足交换律。如:

我前二次借了你50元和30元,第三次你在我手中拿了100元走,问我手中还有你多少钱?

答:(50 30)+(-100)

=-20。即你欠我20元。

如果是第一次我借了你50元,第二次你在我手中拿了100元走,第三次我借了你30元,问我手中还有你多少钱?

答:((50+(-100))+30

=(-50)+30=-20。

比较上两式所得结果发现是一样的,即:

(50 30)+(-100)

=((50+(-100))+30。

可见含三个正、负整数的和,先加这两个,还是先加另两个,和不交。这就是加法的结合律。

一般情况,请自行分类讨论去证明。

到此为止,我们就知道了,自然数加了新的负整数,得到整数后,加法的含义是什么,加法是怎么做的,并知道了整数的加法仍然满足加法的交换律和结合律。

为了简便书写整数加法含义,我们引进绝对值概念,规定:一个正数与0的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数。并把数a的绝对值记为la丨。

这样有:a>0时lal=a,l0l=0,a<0时lal=-a。

如l304l=304,l-1l=1,l-1l=1,l-3l=3,l-9l=9,l-3809l=3809。

可以看出,整数取绝对值的作用就是去掉负号,把整数转化为自然数。

由此我们知道lal≥0。

这样一来,我们就有:

已知整数a,b,

若a≥0,b≥0,a+b按自然数加法进行。

若a≤0,b≤0,则a+b=-(lal+lbⅠ)。

若a≥0,b≤0,则:

①当laⅠ>lbⅠ时a+b=+(laⅠ-lbⅠ),

②当laⅠ<lbⅠ时a+b=-(lbⅠ-laⅠ)

③当laⅠ=lbⅠ时a+b=0。

若a≥0,b≥0,a+b按自然数加法进行。

这就是整数加法的定义及计算方法。可以看出,要分很多情况来讨论,才能得出和值。

由前讨论知:

若a,b,c∈Z,则有:

①a+b=b+a(交换律)。

②(a+b)+c=a+(b+c)(结合律)。

运算律可以简化我们的计算。如:56 (-32) (-21) (-44)

=56+(-(32+21+44))

=56+(-97)

=-(97-56)

=-41。

或56 (-32) (-21) (-44)

=(56 (-44)) ((-32) (-21))

=12+(-53)

=-(53-12)

=-41。

3.整数的减法

由前知:a+b=0时,a,b互为相反数。

自然数中减法是加法的逆运算。

所以两个整数的减法我们给出如下定义:

a-b==a+(-b)

即a减去b的差就是a与b的相反数的和。

如:5-4=5 (-4)=1,这与自然数减法是相符的。

3-5=3 (-5)

=-(5-3)=-2,

这就是我有3支笔,你要拿走5支,我手中还差2支。

3-(-55)=3 55=58,

这就是我有3个包子,去掉你从我这拿走的55个包子,也就是我有3个包子,你又还了我55个包子,我手中实有58个包子。

(-65)-(-43)

=(-65)+43

=-(65-43)

=-22。

这就是我欠你65元钱,去掉你从我欠你的43元,就是我还了你43元,当然实欠你22元了。

也就是说,整数的减法虽多出了自然数与自然相减时不够减的情况,多出了自然数减负整数的情况,多出了负整数减负整数的情况,但与自然数内部减法一样,不但统一了作减法的样式和步骤,也有相同实际意义。

对于整数计算式中去括号的问题,我们举例说明如下:

∵-22 ((-65)-(-43))

=-22 (-(65-43))

=-22 (-22)

=-44,

-22 (-65)-(-43)

=-87 43

=-(87-43)

=-44,

∴-22 ((-65)-(-43))

=-22 (-65)-(-43)。

即括号前为+号时,去掉括号后,括号内各数保持不变。

又∵-22-((-65)-(-43))

=-22-(-22)

=0,

-22-(-65)+(-43)

=-22 65 (-43)

=43-43

=0,

∴-22-((-65)-(-43))

=-22-(-65)+(-43)。

即括号前为-号时,去掉括号后,括号内各数均应改变符号,+号变成-号,-号变成+号。

一般地有:若整数加减式中含有括号,去每层括号时,仍遵循去括号法则:

a,b,c∈Z时,

a+(b+c)=a+b+c,

a-(b+c)=a-b-c,

a-(b-c)=a-b+c,

a-(-b+c)=a+b-c,

a-(-b-c)=a+b+c。

由前面知识我们知道,任两个整数的差仍为整数,所以整数加法具有封闭班性。即:

a∈Z,b∈Z,则a-b∈Z成立。

这是与自然数减法的最大区别,是自然数引进了负整数后,将减法的不封闭变成了封闭。

可见,引进了负整数后,数的性质变得更完善、完备和完美。

整数减法还具有下列性质:

0-0=0,

0-a=0+(-a)=-a,

0-(-a)=0+a=a,

a-0=a+0=a,

a-a=0,(-a)-(-a)=0,

lal=I-aI,

若Ial=5,则a=±5。

问题:la+bI=?

la-bI=?

4.整数的乘法(后续)

,

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