导数基础知识讲解高数（走进高数一之导数理论整理）

接上期整理了数一的极限理论知识，这期整理导数的理论知识。

一、函数的连续性

1.连续函数的性质

◇局部有界性

◇局部保号性

◇四则运算法则

◇若f在x0连续，g在u0=f(x0)连续，则g(f(x))在x0连续

◇有界性定理（适用于闭区间）（用局部有界性与有限覆盖定理证明）

◇最大最小值定理（适用于闭区间）（用有界性定理和确界原理证明）

◇根的存在定理（适用于闭区间）（用局部保号性和区间套定理证明）

◇介值性定理（适用于闭区间）（用根的存在定理证明）

◇一致连续性定理（用有限覆盖定理证明）

二、导数和微分

1.导数的概念

◇费马定理（可导函数极值的必要条件）（用连续函数局部保号性证明）

◇导函数的介值定理（用最大最小值定理和费马定理证明）

2.求导法则

◇四则运算法则

◇反函数的导数

◇复合函数的导数及其引理

◇参变量函数的导数

◇高阶导数

3.微分

◇可微<＝>可导，且微分AΔx中的A等于导数（用有限增量公式证明）

◇微分运算法则（由导数运算法则推出）

◇高阶微分

◇一阶微分形式的不变性 / 高阶微分不具有形式不变性

4.微分中值定理

◇罗尔中值定理（用连续函数最大最小值定理与费马定理证明）

◇拉格朗日中值定理（用罗尔中值定理证明）

◇导数极限定理（用拉格朗日中值定理证明）

◇函数（严格）单调递增（减）的充要条件（用拉格朗日中值定理证明）

◇柯西中值定理（用罗尔中值定理证明）

◇洛必达法则（用柯西中值定理证明）

5.泰勒公式

◇佩亚诺余项（用洛必达法则证明）

◇拉格朗日余项（泰勒定理）（用柯西中值定理证明）

◇积分型余项（用推广的定积分分部积分法证明）

◇柯西型余项（对积分型余项使用积分第一中值定理得）

6.函数的极值

◇极值的第三充分条件：设f在x0某邻域内存在n-1阶导函数，在x0处可导，且f(k)(x0)=0 (k=1,2,...,n-1)，f(n)(x0)≠0，则：(i) 当n为偶数时，f在x0取极值，且当f(n)(x0) ＜0时取极大值，当f(n)(x0) ＞0时取极小值；(ii) 当n为奇数时，f在x0处不取极值（在x0处用n阶泰勒公式（佩亚诺余项）证明，极值第二充分条件可作为其推论）

7.凸函数的性质

◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)

◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x1))/(x3-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)

◇充要条件：f’为I上的增函数（用上两条（引理）证）

◇充要条件：对I上的任意两点x1、x2，f(x2) ≥ f(x1) f’(x1)(x2- x1)（用拉格朗日中值定理与上一条定理证）

◇Jensen不等式（用数学归纳法证）

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