导数基础知识讲解高数(走进高数一之导数理论整理)

导数基础知识讲解高数(走进高数一之导数理论整理)(1)

接上期整理了数一的极限理论知识,这期整理导数的理论知识。

一、函数的连续性

1.连续函数的性质

◇局部有界性

◇局部保号性

◇四则运算法则

◇若f在x0连续,g在u0=f(x0)连续,则g(f(x))在x0连续

◇有界性定理(适用于闭区间)(用局部有界性与有限覆盖定理证明)

◇最大最小值定理(适用于闭区间)(用有界性定理和确界原理证明)

◇根的存在定理(适用于闭区间)(用局部保号性和区间套定理证明)

◇介值性定理(适用于闭区间)(用根的存在定理证明)

◇一致连续性定理(用有限覆盖定理证明)

二、导数和微分

1.导数的概念

◇费马定理(可导函数极值的必要条件)(用连续函数局部保号性证明)

◇导函数的介值定理(用最大最小值定理和费马定理证明)

2.求导法则

◇四则运算法则

◇反函数的导数

◇复合函数的导数及其引理

◇参变量函数的导数

◇高阶导数

3.微分

◇可微<=>可导,且微分AΔx中的A等于导数(用有限增量公式证明)

◇微分运算法则(由导数运算法则推出)

◇高阶微分

◇一阶微分形式的不变性 / 高阶微分不具有形式不变性

4.微分中值定理

◇罗尔中值定理(用连续函数最大最小值定理与费马定理证明)

◇拉格朗日中值定理(用罗尔中值定理证明)

◇导数极限定理(用拉格朗日中值定理证明)

◇函数(严格)单调递增(减)的充要条件(用拉格朗日中值定理证明)

◇柯西中值定理(用罗尔中值定理证明)

◇洛必达法则(用柯西中值定理证明)

5.泰勒公式

◇佩亚诺余项(用洛必达法则证明)

◇拉格朗日余项(泰勒定理)(用柯西中值定理证明)

◇积分型余项(用推广的定积分分部积分法证明)

◇柯西型余项(对积分型余项使用积分第一中值定理得)

6.函数的极值

◇极值的第三充分条件:设f在x0某邻域内存在n-1阶导函数,在x0处可导,且f(k)(x0)=0 (k=1,2,...,n-1),f(n)(x0)≠0,则:(i) 当n为偶数时,f在x0取极值,且当f(n)(x0) <0时取极大值,当f(n)(x0) >0时取极小值;(ii) 当n为奇数时,f在x0处不取极值(在x0处用n阶泰勒公式(佩亚诺余项)证明,极值第二充分条件可作为其推论)

7.凸函数的性质

◇充要条件:对I上的任意三点x1<x2<x3,总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)

◇充要条件:对I上的任意三点x1<x2<x3,总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x1))/(x3-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)

◇充要条件:f’为I上的增函数(用上两条(引理)证)

◇充要条件:对I上的任意两点x1、x2,f(x2) ≥ f(x1) f’(x1)(x2- x1)(用拉格朗日中值定理与上一条定理证)

◇Jensen不等式(用数学归纳法证)

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